Реши 15-е задание максимально правильно чтобы я смог выписать в тетрадь для домашнего задания
Краткий ответ: три попарно пересекающиеся прямые либо лежат в одной плоскости, либо проходят через одну общую точку.
Доказательство
Пусть прямые \(a\), \(b\), \(c\) попарно пересекаются.
Рассмотрим прямые \(a\) и \(b\). Они пересекаются в точке \(A\), поэтому определяют плоскость \(\alpha\):
\[ a\subset\alpha,\qquad b\subset\alpha. \]
Возможны два случая.
1. Прямая \(c\) проходит через точку \(A\).
Тогда все три прямые имеют общую точку \(A\):
\[ A\in a,\quad A\in b,\quad A\in c. \]
Следовательно, прямые имеют общую точку.
2. Прямая \(c\) не проходит через точку \(A\).
Так как \(c\) пересекает \(a\) и \(b\), обозначим точки пересечения:
\[ c\cap a=B,\qquad c\cap b=C. \]
Точки \(B\) и \(C\) лежат в плоскости \(\alpha\), поскольку \(B\in a\), а \(C\in b\). При этом \(B\ne C\), иначе точка \(B=C\) была бы общей точкой прямых \(a\), \(b\) и \(c\), что относится к первому случаю.
Прямая, проходящая через две точки плоскости, целиком лежит в этой плоскости. Значит,
\[ c\subset\alpha. \]
Следовательно, все три прямые лежат в одной плоскости \(\alpha\).
Что и требовалось доказать.
Обсуждение
2 сообщенияВыдели именно то что мне реально нужно выписать
Выпиши в тетрадь:
Доказательство.
Пусть прямые \(a\), \(b\), \(c\) попарно пересекаются. Прямые \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(A\), поэтому они определяют плоскость \(\alpha\).
Если прямая \(c\) проходит через точку \(A\), то все три прямые имеют общую точку.
Если прямая \(c\) не проходит через точку \(A\), то она пересекает прямые \(a\) и \(b\) в точках \(B\) и \(C\). Точки \(B\) и \(C\) принадлежат плоскости \(\alpha\). Следовательно, прямая \(c\), проходящая через две точки \(B\) и \(C\) этой плоскости, целиком лежит в плоскости \(\alpha\).
Таким образом, три попарно пересекающиеся прямые либо имеют общую точку, либо лежат в одной плоскости. \(\square\)
