Информатика
Пришли полное условие задания по информатике — текстом или фото?
Обсуждение
5 сообщенийСистемы исчисления
Что именно нужно сделать по системам счисления: перевести число, выполнить действие или решить конкретную задачу? Пришли условие.
Нужно подготовить к опросу в классе по этой теме
Вот краткая подготовка к опросу по теме «Системы счисления».
1. Что такое система счисления
Система счисления — это способ записи чисел с помощью определённых цифр и правил.
Непозиционные системы
Значение символа не зависит от его места.
Пример: римская система — \(X, V, I\).
Позиционные системы
Значение цифры зависит от её положения в числе.
Примеры: двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная.
2. Основание системы
Основание системы счисления показывает, сколько цифр в ней используется.
| Система | Основание | Цифры |
|---|---|---|
| Двоичная | \(2\) | \(0,1\) |
| Восьмеричная | \(8\) | \(0\)–\(7\) |
| Десятичная | \(10\) | \(0\)–\(9\) |
| Шестнадцатеричная | \(16\) | \(0\)–\(9, A,B,C,D,E,F\) |
В шестнадцатеричной системе:
\[ A=10,\ B=11,\ C=12,\ D=13,\ E=14,\ F=15. \]
В системе с основанием \(p\) можно использовать цифры от \(0\) до \(p-1\).
Например, цифры \(8\) в восьмеричной системе быть не может.
3. Разрядное значение
В числе каждая цифра умножается на основание системы в степени, соответствующей её разряду:
\[ (a_na_{n-1}\ldots a_1a_0)_p = a_n\cdot p^n+\ldots+a_1\cdot p^1+a_0\cdot p^0. \]
Нумерация разрядов начинается справа с нуля.
Например:
\[ (231)_4=2\cdot4^2+3\cdot4^1+1\cdot4^0 \]
\[ =2\cdot16+3\cdot4+1=45_{10}. \]
4. Перевод из другой системы в десятичную
Нужно представить число как сумму разрядов.
Пример
\[ (101101)_2 \]
\[ =1\cdot2^5+0\cdot2^4+1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0 \]
\[ =32+8+4+1=45_{10}. \]
5. Перевод из десятичной системы
Используют последовательное деление на основание новой системы. Остатки записывают снизу вверх.
Пример: перевести \(45_{10}\) в двоичную систему
\[ 45:2=22\text{, остаток }1 \]
\[ 22:2=11\text{, остаток }0 \]
\[ 11:2=5\text{, остаток }1 \]
\[ 5:2=2\text{, остаток }1 \]
\[ 2:2=1\text{, остаток }0 \]
\[ 1:2=0\text{, остаток }1 \]
Читаем остатки снизу вверх:
\[ 45_{10}=101101_2. \]
6. Связь двоичной системы с восьмеричной и шестнадцатеричной
- Для перехода из двоичной в восьмеричную систему разбивают число на группы по 3 бита.
- Для перехода из двоичной в шестнадцатеричную — на группы по 4 бита.
- Если слева не хватает цифр, добавляют нули.
Пример:
\[ 11010110_2=011\ 010\ 110_2=326_8. \]
А по четыре цифры:
\[ 11010110_2=1101\ 0110_2=D6_{16}. \]
Значит:
\[ 11010110_2=326_8=D6_{16}. \]
7. Арифметические действия
В любой системе счисления действует правило переноса: если сумма достигает основания системы, выполняется перенос в следующий разряд.
В двоичной системе:
\[ 1+1=10_2. \]
Пример:
\[ \begin{array}{r} 1011_2\\ +0110_2\\ \hline 10001_2 \end{array} \]
Проверка:
\[ 1011_2=11_{10},\qquad 0110_2=6_{10}, \]
\[ 11+6=17_{10}=10001_2. \]
Что могут спросить на опросе
Почему \(10_2=2_{10}\)?
Потому что \(10_2=1\cdot2+0=2\).
Что означает основание системы?
Количество цифр, используемых в системе.
Какие цифры используются в двоичной системе?
Только \(0\) и \(1\).
Почему компьютеры используют двоичную систему?
Потому что электронным устройствам удобно распознавать два состояния: есть сигнал и нет сигнала.
Чему равно \(1000_2\)?
\[ 1\cdot2^3=8, \]
поэтому \(1000_2=8_{10}\).
Как переводят число из десятичной системы в другую?
Последовательно делят на основание новой системы и записывают остатки снизу вверх.
Небольшая тренировка
- \(10101_2=?_{10}\)
- \(57_{10}=?_2\)
- \(73_8=?_{10}\)
- \(2F_{16}=?_{10}\)
- \(110011_2=?_8\)
Ответы:
\[ 1)\ 21_{10};\qquad 2)\ 111001_2;\qquad 3)\ 59_{10}; \]
\[ 4)\ 47_{10};\qquad 5)\ 63_8. \]
Главное запомнить: основание системы, разряды как степени основания и перевод делением с остатком.
По химии 8 класс нужно подготовиться
