Объясните мне тему урока свойства степени с целыми показателями 8 класс
Кратко
Степень с целым показателем \(a^n\) — это число \(a\), умноженное само на себя \(n\) раз, если \(n>0\).
Главные свойства:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \]
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \]
\[ (a^m)^n=a^{mn} \]
\[ (ab)^n=a^n b^n \]
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \]
1. Нулевой и отрицательный показатели
Для \(a\ne0\):
\[ a^0=1 \]
Например:
\[ 7^0=1,\qquad x^0=1 \]
Отрицательный показатель означает обратное число:
\[ a^{-n}=\frac1{a^n} \]
Например:
\[ 2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18 \]
Важно: \(2^{-3}\) — это не \(-8\).
2. Умножение степеней с одинаковыми основаниями
При умножении показатели складываются:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \]
Пример:
\[ x^4\cdot x^3=x^{4+3}=x^7 \]
С отрицательными показателями:
\[ a^5\cdot a^{-2}=a^{5+(-2)}=a^3 \]
3. Деление степеней с одинаковыми основаниями
При делении показатели вычитаются:
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \]
Пример:
\[ \frac{y^8}{y^3}=y^{8-3}=y^5 \]
Если получается отрицательный показатель:
\[ \frac{x^2}{x^5}=x^{2-5}=x^{-3}=\frac1{x^3} \]
4. Возведение степени в степень
Показатели перемножаются:
\[ (a^m)^n=a^{mn} \]
Пример:
\[ (x^3)^4=x^{3\cdot4}=x^{12} \]
Не нужно складывать показатели:
\[ (x^3)^4\ne x^7 \]
5. Степень произведения
Степень каждого множителя возводится отдельно:
\[ (ab)^n=a^n b^n \]
Пример:
\[ (2x)^3=2^3x^3=8x^3 \]
6. Степень дроби
В числитель и знаменатель показатель переносится отдельно:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \]
Пример:
\[ \left(\frac{x}{3}\right)^2=\frac{x^2}{9} \]
Как упрощать выражения со степенями
Например:
\[ \frac{x^7\cdot x^{-2}}{x^3} \]
Сначала объединим степени в числителе:
\[ x^7\cdot x^{-2}=x^{7+(-2)}=x^5 \]
Теперь разделим:
\[ \frac{x^5}{x^3}=x^{5-3}=x^2 \]
Ответ:
\[ \boxed{x^2},\qquad x\ne0 \]
Проверка при \(x=2\):
\[ \frac{2^7\cdot2^{-2}}{2^3} =\frac{128\cdot\frac14}{8} =\frac{32}{8}=4 \]
А
\[ 2^2=4 \]
Ответ верный.
Частые ошибки
- При умножении степеней показатели складываются:
\[ a^2\cdot a^5=a^7 \]
- При делении показатели вычитаются:
\[ \frac{a^6}{a^2}=a^4 \]
- При возведении степени в степень показатели умножаются:
\[ (a^2)^3=a^6 \]
- Сложение степеней не подчиняется этим правилам:
\[ a^2+a^3\ne a^5 \]
- Скобки важны:
\[ (-2)^4=16,\qquad -2^4=-16 \]
Главная памятка
- умножение — показатели складываем;
- деление — вычитаем;
- степень степени — умножаем;
- отрицательный показатель — переворачиваем дробь.
Обсуждение
15 сообщенийалгебра
как делаються обесните
На фото нужно умножить степени с одинаковым основанием.
Правило:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \]
То есть основания оставляем прежними, а показатели складываем.
1) \(\;10^0\cdot10^{-5}\)
\[ 10^0\cdot10^{-5}=10^{0+(-5)}=10^{-5} \]
Отрицательная степень означает обратное число:
\[ 10^{-5}=\frac1{10^5}=\frac1{100000} \]
Ответ:
\[ \boxed{10^{-5}=\frac1{100000}} \]
2) \(\;25^{-4}\cdot25^{-5}\)
\[ 25^{-4}\cdot25^{-5}=25^{-4+(-5)}=25^{-9} \]
\[ 25^{-9}=\frac1{25^9} \]
Ответ:
\[ \boxed{25^{-9}=\frac1{25^9}} \]
Главное: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, например:
\[ x^3\cdot x^{-2}=x^{3+(-2)}=x. \]
как записать правильно
В тетради можно записать так:
1)
\[ 10^0\cdot 10^{-5}=10^{0+(-5)}=10^{-5} \]
Так как отрицательная степень означает обратное число:
\[ 10^{-5}=\frac{1}{10^5}=\frac{1}{100000} \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{1}{100000}} \]
2)
\[ 25^{-4}\cdot25^{-5}=25^{-4+(-5)}=25^{-9} \]
\[ 25^{-9}=\frac{1}{25^9} \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{1}{25^9}} \]
Правило: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]
Это продолжение текущей темы, а не новое задание. В предыдущем ответе я ошибся: знак «:» означает деление, а не умножение.
На фото читается:
1)
\[ 10^0:10^{-5}=10^{0-(-5)}=10^5=100000 \]
2)
\[ 12^5:2^5=\left(\frac{12}{2}\right)^5=6^5=7776 \]
В тетради можно записать именно так:
\[ \boxed{10^0:10^{-5}=10^5=100000} \]
\[ \boxed{12^5:2^5=6^5=7776} \]
это тоже как решается обесните
Это продолжение темы. На фото я читаю числитель как \(4^{-2}\cdot 8^{-6}\).
Сначала представляем \(4\) и \(8\) степенями числа \(2\):
\[ 4^{-2}\cdot8^{-6} =(2^2)^{-2}\cdot(2^3)^{-6} =2^{-4}\cdot2^{-18} =2^{-22}. \]
Использовали правила:
\[ (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]
Показатели в знаменателе на фото неразборчивы. Как точно записан знаменатель?
нижняя 2минус 22тоже сним идет
Понял: внизу тоже стоит \(2^{-22}\). Тогда всё выражение такое:
\[ \frac{4^{-2}\cdot 8^{-6}}{2^{-22}} \]
Представим \(4\) и \(8\) как степени двойки:
\[ 4=2^2,\qquad 8=2^3 \]
Тогда:
\[ \frac{(2^2)^{-2}\cdot(2^3)^{-6}}{2^{-22}} \]
Возводим степень в степень:
\[ \frac{2^{-4}\cdot2^{-18}}{2^{-22}} \]
При умножении показатели складываются:
\[ \frac{2^{-4+(-18)}}{2^{-22}} = \frac{2^{-22}}{2^{-22}} \]
При делении показатели вычитаются:
\[ 2^{-22-(-22)}=2^0=1 \]
Ответ:
\[ \boxed{1} \]
как записывается этот пример правильно
В тетради запиши так:
\[ 4^{-2}\cdot 8^{-6}:2^{-22} \]
\[ =(2^2)^{-2}\cdot(2^3)^{-6}:2^{-22} \]
\[ =2^{-4}\cdot2^{-18}:2^{-22} \]
\[ =2^{-22}:2^{-22} \]
\[ =2^{-22-(-22)}=2^0=1 \]
Ответ:
\[ \boxed{1} \]
Здесь использованы правила:
\[ (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n}. \]
а в столбик
В столбик записывай каждое действие с новой строки:
\[ \begin{aligned} 4^{-2}\cdot 8^{-6}:2^{-22} &=(2^2)^{-2}\cdot(2^3)^{-6}:2^{-22}\\ &=2^{-4}\cdot2^{-18}:2^{-22}\\ &=2^{-22}:2^{-22}\\ &=2^{-22-(-22)}\\ &=2^0\\ &=1 \end{aligned} \]
Ответ:
\[ \boxed{1} \]
Можно также записать обычными строками, начиная каждую следующую строку со знака «\(=\)».
