Реши задание на изображении
На изображении два варианта, поэтому приведу решения обоих.
Краткий ответ
| Пункт | Вариант 1 | Вариант 2 |
|---|---|---|
| 1 | \(1)\ \frac{\pi}{6};\quad 2)\ \frac{\pi}{2};\quad 3)\ 2\pi\) | \(1)\ \frac{\pi}{3};\quad 2)\ \pi;\quad 3)\ \frac{\pi}{4}\) |
| 2 | \(1)\ \frac{17\pi}{36};\quad 2)\ \frac{8\pi}{9}\) | \(1)\ \frac{\pi}{5};\quad 2)\ \frac{25\pi}{18}\) |
| 3 | \(1)\ 72^\circ;\quad 2)\ 225^\circ;\quad 3)\ 315^\circ\) | \(1)\ 18^\circ;\quad 2)\ 300^\circ;\quad 3)\ 240^\circ\) |
| 4 | \(1)\ (0;1);\quad 2)\ (0;-1)\) | \(1)\ (0;-1);\quad 2)\ (0;1)\) |
Решение и объяснение
1–2. Перевод градусов в радианы
Используем формулу:
\[ \alpha^\circ=\alpha\cdot\frac{\pi}{180}. \]
Например:
\[ 85^\circ=85\cdot\frac{\pi}{180} =\frac{17\pi}{36}. \]
Получаем:
Вариант 1:
\[ 30^\circ=\frac{\pi}{6},\qquad 90^\circ=\frac{\pi}{2},\qquad 360^\circ=2\pi; \]
\[ 85^\circ=\frac{17\pi}{36},\qquad 160^\circ=\frac{8\pi}{9}. \]
Вариант 2:
\[ 60^\circ=\frac{\pi}{3},\qquad 180^\circ=\pi,\qquad 45^\circ=\frac{\pi}{4}; \]
\[ 36^\circ=\frac{\pi}{5},\qquad 250^\circ=\frac{25\pi}{18}. \]
3. Перевод радианов в градусы
Используем формулу:
\[ \alpha_{\text{град}}=\alpha_{\text{рад}}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}. \]
Вариант 1:
\[ \frac{2\pi}{5}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=72^\circ, \]
\[ \frac{5\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=225^\circ, \]
\[ \frac{7\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=315^\circ. \]
На единичной окружности эти углы находятся соответственно в I, III и IV четвертях.
Вариант 2:
\[ \frac{\pi}{10}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=18^\circ, \]
\[ \frac{5\pi}{3}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=300^\circ, \]
\[ \frac{4\pi}{3}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=240^\circ. \]
Они находятся соответственно в I, IV и III четвертях.
Для построения откладывай угол от положительного направления оси \(Ox\) против часовой стрелки.
4. Координаты точки после поворота
Для точки \(P(1;0)\) после поворота на угол \(\alpha\):
\[ P'=(\cos\alpha;\sin\alpha). \]
Полный оборот равен \(360^\circ=2\pi\), поэтому лишние полные обороты можно убрать.
Вариант 1:
\[ 450^\circ=360^\circ+90^\circ \Rightarrow P'=(0;1). \]
\[ -\frac{9\pi}{2}+4\pi=-\frac{\pi}{2} \Rightarrow P'=(0;-1). \]
Вариант 2:
\[ 630^\circ-360^\circ=270^\circ \Rightarrow P'=(0;-1). \]
\[ -\frac{11\pi}{2}+6\pi=\frac{\pi}{2} \Rightarrow P'=(0;1). \]
Проверка: \(360^\circ=2\pi\), поэтому результаты поворотов на углы, отличающиеся на полный оборот, совпадают.
