Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3.
\]
Решение:
Нужно найти два числа, произведение которых равно \(6\), а сумма равна \(-5\). Это числа \(-2\) и \(-3\):
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Тогда:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \]
Отсюда:
\[ x_1=2,\qquad x_2=3. \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0; \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Оба корня найдены верно.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
\(x\) не появляется заново — это то же самое неизвестное, которое было в исходном уравнении.
Разберём, как получилось:
\[ x^2-5x+6=0. \]
Представим \(-5x\) как \(-2x-3x\):
\[ x^2-2x-3x+6=0. \]
Сгруппируем слагаемые:
\[ (x^2-2x)+(-3x+6)=0. \]
Вынесем общий множитель:
\[ x(x-2)-3(x-2)=0. \]
Теперь в обеих частях есть общий множитель \((x-2)\), поэтому выносим его:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
То есть мы просто разложили исходное выражение на множители:
\[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6. \]
Дальше используем правило: если произведение равно нулю, то один из множителей равен нулю:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \]
Отсюда:
\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]
