номер 224

Краткий ответ:

а) \(x=\pm3,\ \pm4\);

б) действительных корней нет;

в) \(x=\pm\sqrt2\);

г) \(t=\pm\sqrt3\);

д) \(x=\pm2,\ \pm\dfrac{\sqrt2}{2}\);

е) действительных корней нет.

Решение

Для биквадратного уравнения используем замену:

\[ z=x^2 \quad \text{или} \quad z=y^2,\qquad z\ge 0. \]

После решения квадратного уравнения возвращаемся к исходной переменной.

а)

\[ x^4-25x^2+144=0 \]

\[ z^2-25z+144=0 \]

\[ (z-9)(z-16)=0. \]

\[ z=9 \quad \text{или} \quad z=16. \]

Значит,

\[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm3; \qquad x^2=16 \Rightarrow x=\pm4. \]

б)

\[ y^4+14y^2+48=0 \]

\[ z^2+14z+48=0 \]

\[ (z+6)(z+8)=0. \]

Получаем \(z=-6\) или \(z=-8\), но \(z=y^2\ge0\). Поэтому действительных корней нет.

в)

\[ x^4-4x^2+4=0 \]

\[ z^2-4z+4=0 \]

\[ (z-2)^2=0 \Rightarrow z=2. \]

\[ x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt2. \]

г)

\[ t^4-2t^2-3=0 \]

\[ z^2-2z-3=0 \]

\[ (z-3)(z+1)=0. \]

\(z=3\) подходит, а \(z=-1\) не подходит.

\[ t^2=3 \Rightarrow t=\pm\sqrt3. \]

д)

\[ 2x^4-9x^2+4=0 \]

\[ 2z^2-9z+4=0. \]

\[ D=(-9)^2-4\cdot2\cdot4=49, \]

\[ z=\frac{9\pm7}{4}. \]

\[ z=4 \quad \text{или} \quad z=\frac12. \]

Следовательно,

\[ x=\pm2,\qquad x=\pm\sqrt{\frac12}=\pm\frac{\sqrt2}{2}. \]

е)

\[ 5y^4-5y^2+2=0 \]

\[ 5z^2-5z+2=0. \]

\[ D=(-5)^2-4\cdot5\cdot2=-15<0. \]

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, поэтому и исходное уравнение действительных корней не имеет.

Проверка принципа: найденные значения \(z\) всегда неотрицательны; каждому положительному \(z\) соответствуют два корня исходного уравнения: \(\pm\sqrt z\).