Реши задание на изображении
Краткий ответ
\[ x=-\sqrt[3]{4};\qquad x=\pm\sqrt[5]{4};\qquad x=\pm\sqrt[4]{7}. \]
\[ 1;\qquad 12. \]
\[ a^6;\qquad \frac1{19683};\qquad \frac1{16}. \]
\[ \frac1{125};\qquad 2;\qquad \frac1{16}. \]
\[ \sqrt[5]{5^3};\qquad \sqrt[5]{(1,7)^7};\qquad \sqrt[10]{2^3}. \]
\[ (3x)^{\frac13};\qquad (y+1)^{\frac15}. \]
\[ 64;\qquad 8;\qquad 36. \]
\[ x=18. \]
\[ x=10;\qquad x=27. \]
Графики \(y=x^4\) и \(y=x^{-4}=\dfrac1{x^4}\) — чётные, симметричны относительно оси \(Oy\).
Ключевые шаги
1. Решение уравнений
\[ x^3+4=0 \Rightarrow x^3=-4 \Rightarrow x=-\sqrt[3]{4}. \]
\[ x^{10}-16=0 \Rightarrow x^{10}=16 \Rightarrow x=\pm\sqrt[10]{16}=\pm\sqrt[5]{4}. \]
\[ x^4-2=5 \Rightarrow x^4=7 \Rightarrow x=\pm\sqrt[4]{7}. \]
2. Вычисление
\[ \sqrt[3]{125}\cdot\sqrt[4]{0,0016} =5\cdot0,2=1, \] так как \(0,2^4=0,0016\).
\[ \sqrt[4]{81}\cdot\sqrt[3]{64} =3\cdot4=12. \]
3. Свойства степеней
Используем: \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}. \]
\[ (a^6\cdot a^{-3})^2=(a^{6-3})^2=(a^3)^2=a^6. \]
\[ (3^5\cdot3^{-2})^{-3} =(3^3)^{-3}=3^{-9}=\frac1{3^9}=\frac1{19683}. \]
\[ (2^7\cdot2^{-5})^{-2} =(2^2)^{-2}=2^{-4}=\frac1{16}. \]
4. Отрицательная степень
\[ 625^{-0,75}=625^{-\frac34} =(5^4)^{-\frac34}=5^{-3}=\frac1{125}. \]
\[ \left(\frac12\right)^{-1}=2. \]
\[ (-4)^{-2}=\frac1{(-4)^2}=\frac1{16}. \]
5. Представление степени в виде корня
\[ a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}. \]
\[ 5^{0,6}=5^{\frac35}=\sqrt[5]{5^3}. \]
\[ (1,7)^{1,4}=(1,7)^{\frac75} =\sqrt[5]{(1,7)^7}. \]
\[ 2^{0,3}=2^{\frac3{10}}=\sqrt[10]{2^3}. \]
6. Представление корня в виде степени
\[ \sqrt[3]{3x}=(3x)^{\frac13}, \qquad \sqrt[5]{y+1}=(y+1)^{\frac15}. \]
7. Вычисление
\[ 1024^{0,6}=1024^{\frac35} =(2^{10})^{\frac35}=2^6=64. \]
\[ \sqrt[3]{512}=8. \]
\[ \left(\sqrt[3]{216}\right)^2=6^2=36. \]
8. Уравнение с четвёртым корнем
\[ \sqrt[4]{x-2}=2 \Rightarrow x-2=2^4=16 \Rightarrow x=18. \]
Проверка: \[ \sqrt[4]{18-2}=\sqrt[4]{16}=2. \]
9. Уравнения
В первом уравнении правая часть должна быть неотрицательной, поэтому \(x\ge5\):
\[ \sqrt{x+15}=x-5. \]
Возводим в квадрат:
\[ x+15=(x-5)^2, \]
\[ x+15=x^2-10x+25, \]
\[ x^2-11x+10=0, \]
\[ (x-1)(x-10)=0. \]
Из условий подходит только \(x=10\).
Проверка: \[ \sqrt{10+15}=5=10-5. \]
Второе уравнение:
\[ \sqrt[3]{x}=3 \Rightarrow x=3^3=27. \]
10. Построение графиков
Для \(y=x^4\):
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y=x^4&16&1&0&1&16 \end{array} \]
Это график с вершиной в точке \((0;0)\), ветви направлены вверх.
Для \(y=x^{-4}=\dfrac1{x^4}\):
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y=x^{-4}&\frac1{16}&1&\text{не определено}&1&\frac1{16} \end{array} \]
У графика две ветви в I и II четвертях. Асимптоты: \(x=0\) и \(y=0\). Оба графика пересекаются в точках \((-1;1)\) и \((1;1)\).
