Реши задание на изображении

Краткий ответ

а) \(\displaystyle x\in\left(-\infty;-\frac13\right)\cup\left(\frac32;2\right)\);

б) \(\displaystyle x\in\left(-\frac32;\frac12\right)\cup(1;+\infty)\);

в) \(\displaystyle x\in\left(\frac23;\frac32\right)\cup(4;+\infty)\);

г) \(\displaystyle x\in(-\infty;-7]\cup\left[-\frac34;\frac52\right]\).

Как решать

1. Находим нули каждого множителя.
2. Расставляем их по возрастанию на числовой прямой.
3. Определяем знак произведения на каждом промежутке. При переходе через простой корень знак меняется.
4. При строгих неравенствах корни не включаются, а при \(\geqslant\) включаются.

Во всех четырёх примерах справа от наибольшего корня произведение отрицательно, поэтому знаки промежутков идут так:

\[ +\;|\;-\;|\;+\;|\;-. \]

а)

Нули:

\[ 2-x=0\Rightarrow x=2,\quad 3x+1=0\Rightarrow x=-\frac13,\quad 2x-3=0\Rightarrow x=\frac32. \]

Положительные промежутки:

\[ \left(-\infty;-\frac13\right),\qquad \left(\frac32;2\right). \]

б)

Нули:

\[ x=-\frac32,\qquad x=\frac12,\qquad x=1. \]

Отрицательные промежутки:

\[ \left(-\frac32;\frac12\right),\qquad (1;+\infty). \]

в)

Нули:

\[ x=\frac23,\qquad x=\frac32,\qquad x=4. \]

Отрицательные промежутки:

\[ \left(\frac23;\frac32\right),\qquad (4;+\infty). \]

г)

Нули:

\[ x=-7,\qquad x=-\frac34,\qquad x=\frac52. \]

Положительные промежутки:

\[ (-\infty;-7),\qquad \left(-\frac34;\frac52\right). \]

Так как неравенство \(\geqslant 0\), сами корни тоже включаем:

\[ (-\infty;-7]\cup\left[-\frac34;\frac52\right]. \]

Проверка: подстановка любого числа из найденного промежутка даёт нужный знак, а в точках-границах произведение равно нулю.