С какой высоты свободно падала сосулька, если расстояние до земли она преодолела за 4 с? 2. Определите время падения монетки, если её выронили из рук на вы соте 80 см над землёй. (Принять g = 10 м/с2.) 3. Маленький стальной шарик упал с высоты 45 м. Сколько времени длилось его падение? Какое перемещение совершил шарик за пер вую и последнюю секунды своего движения? (Принять g = 10 м/с2.) 4. С какой скоростью камень достигнет земли, если он падал 2,5 с? 5. С высоты 10 м над землёй вертикально вверх брошен камень со ско ростью 5 м/с. Определите путь, пройденный камнем до соприкосно вения с землёй. 6. Теннисный мяч бросили вертикально вверх с начальной скоростью 9,8 м/с. Через какой промежуток времени скорость поднимающего ся мяча уменьшится до нуля? Какое перемещение от места броска совершит при этом мяч? 7. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх. Докажите, что время полёта тела до момента падения на землю вдвое больше времени его подъёма на максимальную высоту. 8. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 15 м/с. Какую ско рость будет иметь тело при в
Краткие ответы
- \(h=80\ \text{м}\).
- \(t=0{,}4\ \text{с}\).
- Время падения — \(3\ \text{с}\); за первую секунду — \(5\ \text{м}\) вниз, за последнюю — \(25\ \text{м}\) вниз.
- \(v=25\ \text{м/с}\), направлена вниз.
- Путь камня — \(12{,}5\ \text{м}\).
- Через \(1\ \text{с}\); перемещение — \(4{,}9\ \text{м}\) вверх.
- \(T=2t_{\text{подъёма}}\).
Для задач 1, 4 и 5 принимаем \(g=10\ \text{м/с}^2\). В задаче 6 используем \(g=9{,}8\ \text{м/с}^2\).
1. Падение сосульки
При свободном падении из состояния покоя:
\[ h=\frac{gt^2}{2}. \]
Подставим \(t=4\ \text{с}\):
\[ h=\frac{10\cdot 4^2}{2} =\frac{10\cdot16}{2}=80\ \text{м}. \]
Ответ: \(80\ \text{м}\).
2. Падение монетки
Переведём высоту:
\[ 80\ \text{см}=0{,}8\ \text{м}. \]
Из формулы \(h=\frac{gt^2}{2}\):
\[ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} =\sqrt{\frac{2\cdot0{,}8}{10}} =\sqrt{0{,}16}=0{,}4\ \text{с}. \]
Ответ: \(0{,}4\ \text{с}\).
3. Падение шарика с высоты \(45\ \text{м}\)
Время падения
\[ h=\frac{gt^2}{2}, \qquad t=\sqrt{\frac{2h}{g}}. \]
\[ t=\sqrt{\frac{2\cdot45}{10}} =\sqrt9=3\ \text{с}. \]
Перемещение за первую секунду
\[ s_1=\frac{g\cdot1^2}{2} =\frac{10}{2}=5\ \text{м}. \]
Перемещение за последнюю секунду
За \(3\) секунды шарик прошёл:
\[ s(3)=45\ \text{м}. \]
За первые \(2\) секунды:
\[ s(2)=\frac{10\cdot2^2}{2}=20\ \text{м}. \]
Значит, за третью, последнюю секунду:
\[ \Delta s=s(3)-s(2)=45-20=25\ \text{м}. \]
Ответ: \(3\ \text{с}\); за первую секунду — \(5\ \text{м}\) вниз, за последнюю — \(25\ \text{м}\) вниз.
4. Скорость камня перед падением на землю
При падении из состояния покоя:
\[ v=gt. \]
\[ v=10\cdot2{,}5=25\ \text{м/с}. \]
Ответ: \(25\ \text{м/с}\), направлена вниз.
5. Камень бросили вверх с высоты \(10\ \text{м}\)
Сначала найдём дополнительную высоту подъёма:
\[ h_{\text{подъёма}}=\frac{v_0^2}{2g} =\frac{5^2}{2\cdot10} =\frac{25}{20}=1{,}25\ \text{м}. \]
Камень поднимется над землёй на высоту:
\[ H=10+1{,}25=11{,}25\ \text{м}. \]
Путь состоит из подъёма \(1{,}25\ \text{м}\) и падения \(11{,}25\ \text{м}\):
\[ S=1{,}25+11{,}25=12{,}5\ \text{м}. \]
Ответ: \(12{,}5\ \text{м}\).
6. Мяч бросили вверх со скоростью \(9{,}8\ \text{м/с}\)
Скорость при подъёме:
\[ v=v_0-gt. \]
В верхней точке \(v=0\), поэтому:
\[ 0=9{,}8-9{,}8t, \qquad t=1\ \text{с}. \]
Перемещение:
\[ h=v_0t-\frac{gt^2}{2}. \]
\[ h=9{,}8\cdot1-\frac{9{,}8\cdot1^2}{2} =9{,}8-4{,}9=4{,}9\ \text{м}. \]
Ответ: \(1\ \text{с}\); \(4{,}9\ \text{м}\) вверх.
7. Доказательство
Пусть начальная скорость тела равна \(v_0\).
В верхней точке скорость становится равной нулю:
\[ v_0-gt_{\text{подъёма}}=0. \]
Отсюда:
\[ t_{\text{подъёма}}=\frac{v_0}{g}. \]
Время всего полёта найдём из условия возвращения на землю:
\[ 0=v_0T-\frac{gT^2}{2}. \]
Вынесем \(T\):
\[ T\left(v_0-\frac{gT}{2}\right)=0. \]
Корень \(T=0\) соответствует моменту броска. Поэтому для полного полёта:
\[ v_0-\frac{gT}{2}=0, \]
\[ T=\frac{2v_0}{g}. \]
Так как
\[ t_{\text{подъёма}}=\frac{v_0}{g}, \]
то
\[ \boxed{T=2t_{\text{подъёма}}}. \]
Условие № 8 обрывается на словах «при в…». Как оно продолжается?
