Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. \(\angle ABC=15^\circ\).
2. \(\angle ABC=130^\circ\).
3. \(\angle A=18^\circ,\ \angle C=90^\circ\).
4. \(\angle ACD=40^\circ,\ \angle AOD=80^\circ\).
5. \(\angle ABC=120^\circ\).
6. \(\angle BCD=115^\circ\).

Решение

1. Центральный угол \(\angle AOC=30^\circ\) опирается на ту же дугу \(AC\), что и вписанный угол \(\angle ABC\). Вписанный угол вдвое меньше центрального:

\[ \angle ABC=\frac{30^\circ}{2}=15^\circ. \]

Проверка: \(2\cdot15^\circ=30^\circ\).

2. Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность, поэтому противоположные углы в сумме дают \(180^\circ\):

\[ \angle ABC+\angle ADC=180^\circ. \]

Так как \(\angle ADC=50^\circ\), то

\[ \angle ABC=180^\circ-50^\circ=130^\circ. \]

3. \(AB\) — диаметр, значит угол, опирающийся на диаметр, прямой:

\[ \angle ACB=90^\circ. \]

На рисунке \(\angle B=72^\circ\). Тогда по сумме углов треугольника:

\[ \angle A=180^\circ-90^\circ-72^\circ=18^\circ. \]

4. Углы \(\angle ABD\) и \(\angle ACD\) опираются на одну и ту же дугу \(AD\), поэтому они равны:

\[ \angle ACD=\angle ABD=40^\circ. \]

Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, вдвое больше вписанного:

\[ \angle AOD=2\cdot40^\circ=80^\circ. \]

5. Центральный угол \(\angle AOC=120^\circ\), значит меньшая дуга \(AC\) равна \(120^\circ\).

Точка \(B\) лежит на этой меньшей дуге, поэтому \(\angle ABC\) опирается на большую дугу:

\[ 360^\circ-120^\circ=240^\circ. \]

Следовательно,

\[ \angle ABC=\frac{240^\circ}{2}=120^\circ. \]

6. Так как \(AD\) — диаметр, верхняя полуокружность \(ABCD\) равна \(180^\circ\).

Угол \(\angle BAC=20^\circ\) опирается на дугу \(BC\), поэтому

\[ \overset{\frown}{BC}=2\cdot20^\circ=40^\circ. \]

На рисунке \(\overset{\frown}{CD}=90^\circ\). Тогда

\[ \overset{\frown}{AB}=180^\circ-40^\circ-90^\circ=50^\circ. \]

Угол \(\angle BCD\) опирается на дугу \(BAD\):

\[ \overset{\frown}{BAD}=50^\circ+180^\circ=230^\circ. \]

Значит,

\[ \angle BCD=\frac{230^\circ}{2}=115^\circ. \]