Найди производную функции

Краткий ответ:

\[ f(x)=\sqrt{2x-1}\,(x^5+8) \]

\[ \boxed{f'(x)=5x^4\sqrt{2x-1}+\frac{x^5+8}{\sqrt{2x-1}}} \]

или после приведения к общему знаменателю:

\[ \boxed{f'(x)=\frac{11x^5-5x^4+8}{\sqrt{2x-1}}},\qquad x>\frac12. \]

Решение:

Используем правило производной произведения:

\[ (uv)'=u'v+uv'. \]

Пусть

\[ u=\sqrt{2x-1},\qquad v=x^5+8. \]

Тогда

\[ u'=\frac{1}{\sqrt{2x-1}},\qquad v'=5x^4. \]

Следовательно,

\[ f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}(x^5+8) +\sqrt{2x-1}\cdot 5x^4. \]

Проверим упрощение:

\[ f'(x)=\frac{x^5+8+5x^4(2x-1)}{\sqrt{2x-1}} =\frac{11x^5-5x^4+8}{\sqrt{2x-1}}. \]

Область определения исходной функции: \(x\ge \frac12\), но производная по формуле существует при \(x>\frac12\).