Задание 2. Постройте график функции y= 22-4+ 3. Опишите по графику все её свойства., Оформи как в тетради по алгебре

Степень и переменная \(x\) всё ещё не видны. Уточни запись через ^: это
\[ y=2^{x-4}+3 \] или другая функция? Например, напиши: y=2^(x-4)+3 или пришли фото задания.

\[ \boxed{y=x^2-4|x|+3} \]

Построение графика

Раскроем модуль:

\[ y= \begin{cases} x^2+4x+3=(x+2)^2-1,\quad x<0,\\[2mm] x^2-4x+3=(x-2)^2-1,\quad x\geq 0. \end{cases} \]

График состоит из двух частей парабол и симметричен относительно оси \(Oy\).

Для построения отметим точки:

\[ \begin{array}{c|ccccccccc} x&-4&-3&-2&-1&0&1&2&3&4\\ \hline y&3&0&-1&0&3&0&-1&0&3 \end{array} \]

Вершины парабол:

\[ (-2;-1),\qquad (2;-1). \]

Точки пересечения с осью \(Ox\):

\[ (-3;0),\;(-1;0),\;(1;0),\;(3;0). \]

Точка пересечения с осью \(Oy\):

\[ (0;3). \]

Получается график в виде буквы \(W\).

---

Свойства функции

1. Область определения:

\[ D(y)=(-\infty;+\infty). \]

2. Представим функцию в виде:

\[ y=(|x|-2)^2-1. \]

Следовательно,

\[ \boxed{E(y)=[-1;+\infty)}. \]

3. Функция чётная, так как

\[ f(-x)=(-x)^2-4|-x|+3=x^2-4|x|+3=f(x). \]

График симметричен относительно оси \(Oy\).

4. Нули функции:

\[ x^2-4|x|+3=0. \]

Пусть \(t=|x|\). Тогда

\[ t^2-4t+3=0, \]

\[ (t-1)(t-3)=0. \]

Отсюда

\[ |x|=1\quad \text{или}\quad |x|=3. \]

\[ \boxed{x=-3;\,-1;\,1;\,3}. \]

5. Промежутки знакопостоянства:

\[ f(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-3)\cup(-1;1)\cup(3;+\infty); \]

\[ f(x)<0 \text{ при } x\in(-3;-1)\cup(1;3). \]

6. Промежутки убывания:

\[ (-\infty;-2]\quad \text{и}\quad [0;2]. \]

7. Промежутки возрастания:

\[ [-2;0]\quad \text{и}\quad [2;+\infty). \]

8. Наименьшее значение функции:

\[ y_{\min}=-1 \]

при

\[ x=-2\quad \text{и}\quad x=2. \]

9. При \(x=0\) функция имеет локальный максимум:

\[ y_{\max\text{ (лок.)}}=3. \]

Наибольшего значения на всей области определения функция не имеет.

10. Функция ограничена снизу:

\[ y\geq -1, \]

но не ограничена сверху.

\[ y=x^2-4|x|+3 \]

\[ y= \begin{cases} x^2+4x+3=(x+2)^2-1,\quad x<0,\\[2mm] x^2-4x+3=(x-2)^2-1,\quad x\geq0. \end{cases} \]

\[ \begin{array}{c|ccccccccc} x&-4&-3&-2&-1&0&1&2&3&4\\ \hline y&3&0&-1&0&3&0&-1&0&3 \end{array} \]

\[ (-2;-1),\quad(2;-1),\quad(0;3) \]

\[ (-3;0),\quad(-1;0),\quad(1;0),\quad(3;0) \]

\[ D(f)=(-\infty;+\infty) \]

\[ E(f)=[-1;+\infty) \]

\[ f(-x)=f(x) \]

\[ x_{\text{нул.}}=-3;\,-1;\,1;\,3 \]

\[ f(x)>0:\quad (-\infty;-3)\cup(-1;1)\cup(3;+\infty) \]

\[ f(x)<0:\quad (-3;-1)\cup(1;3) \]

\[ \searrow:\quad (-\infty;-2]\cup[0;2] \]

\[ \nearrow:\quad [-2;0]\cup[2;+\infty) \]

\[ y_{\min}=-1,\qquad x=-2,\;2 \]

\[ y_{\max\text{ лок.}}=3,\qquad x=0 \]

\[ y\geq-1 \]

\[ \frac{x^2-x-6}{x^2-4x+4}\leq 0 \]

\[ \frac{(x-3)(x+2)}{(x-2)^2}\leq 0,\qquad x\ne2 \]

\[ x\in[-2;3],\qquad x\ne2 \]

\[ x\in[-2;2)\cup(2;3] \]

\[ \boxed{x\in\{-2;\,-1;\,0;\,1;\,3\}} \]