Реши задание на изображении
Уточнение параллельных прямых и отрезков
Я определяю параллельные прямые как прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся; это обозначается как a || b. Параллельные отрезки аналогичны: они лежат на параллельных прямых и могут включать коллинеарность. В школе мы изучаем, что два отрезка параллельны, если они лежат на таких прямых. Интересно отметить: совпадающие прямые не считаются параллельными, поскольку имеют все общие точки. Кроме того, через точку, не лежащую на прямой, проходит ровно одна параллельная ей прямая, согласно постулатам Евклида.
Объяснение перпендикулярных прямых
Я думаю о двух различных прямых, перпендикулярных одной и той же прямой; они должны быть параллельны, поэтому не будут пересекаться. Возможно, мне следует уточнить это: две прямые могут быть пересекающимися, параллельными или совпадающими в зависимости от определений, используемых в разных учебниках. От меня могут ожидать простого ответа — пересекаются ли они или параллельны, — но важно указать, что это различные прямые. Я хочу сохранить своё объяснение достаточно кратким, но при этом ясным.
Объяснение геометрических понятий
Я работаю над идеей, что две прямые могут быть перпендикулярны одной прямой в разных точках и что, согласно теореме Евклида, они могут быть параллельны. Чтобы объяснить это, предположим, что прямые пересекаются в точке P; тогда через P проходили бы две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой. Если прямая t не проходит через P, я не могу сделать такое же утверждение. Теорема гласит: если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.
Краткий ответ:
- На плоскости две прямые могут пересекаться или быть параллельными. Если прямые не обязаны быть различными, они могут также совпадать.
- Параллельные прямые — это прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.
- Параллельные отрезки — это отрезки, лежащие на параллельных прямых.
- Запись \(r \parallel s\) читают: «прямая \(r\) параллельна прямой \(s\)».
- Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной.
- Не пересекутся: две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны.
Почему:
- Если две прямые имеют общую точку, они пересекаются.
- Если общих точек нет и они лежат в одной плоскости, они параллельны.
- Через внешнюю точку можно провести только одну параллельную прямую — это свойство параллельных прямых.
- Все прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, имеют одинаковое направление, поэтому параллельны.
Проверка: если бы две прямые, перпендикулярные одной прямой, пересеклись, они не могли бы иметь одинаковое направление. Значит, пересечения быть не может.
Обсуждение
4 сообщения№5. Через точку \(B\) проводим прямую \(m\), параллельную \(a\). Построение удобно выполнить с помощью угольника и линейки: прикладываем сторону угольника к прямой \(a\), а к другой его стороне — линейку; передвигаем угольник вдоль линейки до тех пор, пока его сторона не пройдёт через точку \(B\), и проводим \(m\). Получаем \(m \parallel a\). Через точку, не лежащую на прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
№6. Проводим две прямые, перпендикулярные \(m\). Они параллельны друг другу. Причина: две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
№7. Через точку \(K\) проводим две прямые: одну — параллельно стороне \(AB\), другую — параллельно стороне \(BC\). Пусть первая пересекает прямую \(BC\) в точке \(P\), а вторая пересекает прямую \(AB\) в точке \(Q\). Тогда получившийся четырёхугольник \(BQKP\) — параллелограмм, потому что:
- \(BQ \parallel KP\) (обе параллельны \(AB\));
- \(BP \parallel QK\) (обе параллельны \(BC\)).
В пункте а) точка \(K\) лежит внутри угла, поэтому параллелограмм расположен внутри угла. В пункте б) точка \(K\) лежит вне угла, но фигура всё равно является параллелограммом (точки пересечения могут оказаться на продолжениях сторон). В обоих случаях четырёхугольник нужно закрасить.
Это продолжение той же работы по геометрии: задания №1–4 относятся к тому же листу, что и разобранные ранее №5–7.
№1.
Две непересекающиеся прямые на плоскости называют параллельными.
№2.
Перпендикулярные пары прямых:
\[
a \perp b,\qquad c \perp k.
\]
№3.
Через точку \(B\) нужно провести прямую, перпендикулярную прямой \(a\).
Строим с помощью угольника: одну сторону прямого угла совмещаем с прямой \(a\), а через точку \(B\) проводим вторую сторону. В точках пересечения отмечаем прямой угол.
№4.
Пусть прямая, проведённая через \(M\) перпендикулярно \(BA\), пересекает \(BA\) в точке \(P\).
Пусть прямая, проведённая через \(M\) перпендикулярно \(BC\), пересекает \(BC\) в точке \(Q\).
Тогда:
\[
MP \perp BA,\qquad MQ \perp BC.
\]
Получившийся четырёхугольник — это \(BPMQ\). Его нужно закрасить.
Прямые углы отмечаем в точках \(P\) и \(Q\): \(\angle BPM=90^\circ\), \(\angle BQM=90^\circ\).
