Реши задание на изображении
Краткие ответы
Сократите дроби:
а) \(\displaystyle \frac{3y}{8x^2}\), \(x\ne0,\ y\ne0\);
б) \(\displaystyle \frac{x-6}{6}\), \(x\ne0\);
в) \(\displaystyle \frac{a-6}{3}\), \(a\ne-6\).Выполните действие:
а) \(\displaystyle \frac58\), \(b\ne0\);
б) \(\displaystyle \frac{10}{n^2-25}\), \(n\ne\pm5\).\(\displaystyle \frac{5q}{6p}\); при \(p=-\frac56,\ q=17\) значение равно \(\boxed{-17}\).
\(\displaystyle \boxed{\frac{24}{(a-5)^2}}\), \(a\ne5\).
Решение
1. Сокращение дробей
а) Разложим коэффициенты и степени:
\[ \frac{15xy^5}{40x^3y^4} =\frac{3\cdot5\cdot x\cdot y^4\cdot y} {8\cdot5\cdot x^2\cdot x\cdot y^4} =\frac{3y}{8x^2}. \]
б)
\[ \frac{2x^2-12x}{12x} =\frac{2x(x-6)}{12x} =\frac{x-6}{6}. \]
в) Используем разность квадратов:
\[ \frac{a^2-36}{3a+18} =\frac{(a-6)(a+6)}{3(a+6)} =\frac{a-6}{3}. \]
2. Выполнение действий
а) Общий знаменатель — \(8b\):
\[ \frac{b-3}{2b}+\frac{b+12}{8b} =\frac{4(b-3)+(b+12)}{8b} \]
\[ =\frac{4b-12+b+12}{8b} =\frac{5b}{8b} =\frac58. \]
б)
\[ \frac1{n-5}-\frac1{n+5} =\frac{(n+5)-(n-5)}{(n-5)(n+5)} \]
\[ =\frac{10}{(n-5)(n+5)} =\frac{10}{n^2-25}. \]
3. Упрощение и вычисление
Представим \(3p\) как дробь со знаменателем \(6p\):
\[ 3p=\frac{18p^2}{6p}. \]
Тогда
\[ 3p+\frac{5q-18p^2}{6p} =\frac{18p^2+5q-18p^2}{6p} =\frac{5q}{6p}. \]
Подставим значения:
\[ \frac{5q}{6p} =\frac{5\cdot17}{6\cdot\left(-\frac56\right)} =\frac{85}{-5} =-17. \]
4. Упрощение выражения
Разложим квадратный трёхчлен:
\[ a^2-10a+25=(a-5)^2. \]
Приведём все слагаемые к знаменателю \((a-5)^2\):
\[ 1+\frac{5a-1}{(a-5)^2}-\frac{a}{a-5} \]
\[ =\frac{(a-5)^2+(5a-1)-a(a-5)}{(a-5)^2}. \]
Раскроем скобки:
\[ (a^2-10a+25)+(5a-1)-(a^2-5a)=24. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\frac{24}{(a-5)^2}}. \]
