Реши задание на изображении

Читаю условие на доске как: \(\angle PDC=60^\circ\).

Ответ: \[ \boxed{PB=\frac{13\sqrt2}{2}\text{ см}} \] \[ \boxed{S_{\text{бок}}=\frac{169}{4}(\sqrt2+\sqrt3)\text{ см}^2} \]

Решение

Так как \(PB\perp (ABCD)\), то \(PB\perp BC\). В квадрате \(ABCD\): \[ BC\perp CD. \] Следовательно, \(PC\perp CD\), поэтому \(\triangle PCD\) — прямоугольный, \(\angle PCD=90^\circ\).

1. Найдём сторону квадрата и \(PC\)

В треугольнике \(PCD\): \[ PD=13\text{ см},\qquad \angle PDC=60^\circ. \]

\[ CD=PD\cos60^\circ=13\cdot\frac12=\frac{13}{2}\text{ см}, \] \[ PC=PD\sin60^\circ=13\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\frac{13\sqrt3}{2}\text{ см}. \]

Так как \(ABCD\) — квадрат: \[ BC=CD=\frac{13}{2}\text{ см}. \]

2. Найдём \(PB\)

В прямоугольном треугольнике \(PBC\): \[ PC^2=PB^2+BC^2. \]

\[ PB^2=\left(\frac{13\sqrt3}{2}\right)^2- \left(\frac{13}{2}\right)^2 =\frac{507}{4}-\frac{169}{4} =\frac{169}{2}. \]

\[ PB=\sqrt{\frac{169}{2}}=\boxed{\frac{13\sqrt2}{2}\text{ см}}. \]

3. Найдём боковую площадь

Две боковые грани \(PAB\) и \(PBC\) имеют высоту \(PB\), а две грани \(PDA\) и \(PCD\) — высоту \(PC\). Поэтому:

\[ S_{\text{бок}} =2\cdot\frac12\cdot CD\cdot PB +2\cdot\frac12\cdot CD\cdot PC. \]

\[ S_{\text{бок}}=CD(PB+PC). \]

Подставим значения:

\[ S_{\text{бок}} =\frac{13}{2}\left( \frac{13\sqrt2}{2}+\frac{13\sqrt3}{2} \right) =\boxed{\frac{169}{4}(\sqrt2+\sqrt3)\text{ см}^2}. \]

Проверка: \(PB<PC<PD\), то есть \[ \frac{13\sqrt2}{2}<\frac{13\sqrt3}{2}<13, \] что верно для прямоугольных треугольников.