Все задания

Краткий ответ

Верхний видимый фрагмент:

\[ 100=10^2,\quad 10=10^1,\quad 1=10^0,\quad 0{,}1=10^{-1}, \] \[ 0{,}01=10^{-2},\quad 0{,}001=10^{-3},\quad 0{,}0001=10^{-4}. \]

№ 1176

а) \(\frac1{16}\);
б) \(-\frac1{27}\);
в) \(-1\);
г) \(1\);
д) \(49\);
е) \(-\frac{27}{8}\);
ж) \(\frac{32}{243}\);
з) \(\frac{25}{144}\);
и) \(10000\);
к) \(\frac89\).

№ 1177

а) \(-0{,}0001\);
б) \(-125\);
в) \(\frac{25}{16}\);
г) \(-32\);
д) \(\frac18\);
е) \(-\frac19\).

№ 1178

а) \(-\frac1{64}\);
б) \(\frac25=0{,}4\);
в) \(\frac{16}{9}\);
г) \(\frac{27}{64}\);
д) \(-\frac{625}{16}\);
е) \(-\frac4{25}\).

Главное правило

При отрицательном показателе степень заменяется обратным числом:

\[ a^{-n}=\frac1{a^n}=\left(\frac1a\right)^n,\qquad a\ne0. \]

Например:

\[ \left(-\frac23\right)^{-3} =\left(-\frac32\right)^3 =-\frac{27}{8}. \]

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби:

\[ 1\frac12=\frac32,\qquad -2\frac25=-\frac{12}{5},\qquad 2\frac12=\frac52. \]

Поэтому в № 1176:

\[ \left(1\frac12\right)^{-5} =\left(\frac32\right)^{-5} =\left(\frac23\right)^5 =\frac{32}{243}, \]

\[ \left(-2\frac25\right)^{-2} =\left(-\frac{12}{5}\right)^{-2} =\left(-\frac5{12}\right)^2 =\frac{25}{144}. \]

Важно различать знак перед выражением и знак внутри скобок:

\[ -(-3)^{-2}=-\frac19, \]

потому что сначала вычисляется \((-3)^{-2}=\frac19\), а затем ставится внешний минус.

Проверка: результат отрицательной степени при умножении на соответствующую положительную степень даёт \(1\). Например,

\[ -\frac{27}{8}\cdot\left(-\frac23\right)^3 =-\frac{27}{8}\cdot\left(-\frac8{27}\right)=1. \]