Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. Стороны параллелограмма: 3 см и 15 см.
2. \(P_{\triangle BOC}=\)32 см.
3. Углы ромба: \(44^\circ\) и \(136^\circ\).
4. \(\angle ADP=\angle CBK\).
5. Периметр параллелограмма: 32 см.
6. \(BKDM\) — параллелограмм.

Решение

1

Пусть меньшая сторона равна \(x\) см, тогда большая — \(5x\) см.

\[ 2(x+5x)=36 \]

\[ 12x=36,\qquad x=3. \]

Большая сторона:

\[ 5\cdot3=15\text{ см}. \]

Ответ: \(3\) см и \(15\) см.

---

2

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам:

\[ AC=BD=18\text{ см}, \]

\[ BO=CO=9\text{ см}. \]

Кроме того,

\[ BC=AD=14\text{ см}. \]

Тогда периметр треугольника \(BOC\):

\[ P_{\triangle BOC}=BO+OC+BC=9+9+14=32\text{ см}. \]

Ответ: \(32\) см.

---

3

Диагональ ромба делит угол ромба пополам. Поэтому угол, который образует сторона с диагональю, равен половине угла ромба:

\[ \angle A=2\cdot68^\circ=136^\circ. \]

Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\):

\[ \angle B=180^\circ-136^\circ=44^\circ. \]

Ответ: \(44^\circ\) и \(136^\circ\).

---

4

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма \(ABCD\).

Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому

\[ AO=OC. \]

Так как \(P,K\) лежат на диагонали \(AC\) и \(AP=CK\), точки \(P\) и \(K\) симметричны относительно \(O\). Значит, поворот на \(180^\circ\) вокруг точки \(O\) переводит:

\[ D\to B,\qquad A\to C,\qquad P\to K. \]

Следовательно, лучи \(DA\) и \(DP\) переходят в лучи \(BC\) и \(BK\). Поэтому

\[ \boxed{\angle ADP=\angle CBK}. \]

---

5

Пусть

\[ AP=x. \]

По условию \(AP\) меньше \(BP\) в 6 раз, значит

\[ BP=6x. \]

Так как \(P\) лежит на стороне \(AB\),

\[ AP+PB=AB: \]

\[ x+6x=14, \]

\[ 7x=14,\qquad x=2. \]

Значит,

\[ AP=2\text{ см}. \]

Биссектриса угла \(D\) параллелограмма даёт равнобедренный треугольник \(ADP\), поэтому

\[ AD=AP=2\text{ см}. \]

Периметр параллелограмма:

\[ P=2(AB+AD)=2(14+2)=32\text{ см}. \]

Ответ: \(32\) см.

---

6

Рассмотрим треугольники \(BME\) и \(DKE\).

Так как \(AB\parallel CD\), то

\[ BM\parallel DK. \]

Углы

\[ \angle BEM=\angle DEK \]

как вертикальные, а углы при \(M\) и \(K\) равны как соответственные при параллельных прямых. Значит,

\[ \triangle BME\sim\triangle DKE. \]

По условию

\[ ME=KE. \]

Следовательно, коэффициент подобия равен \(1\), поэтому

\[ BE=DE. \]

Значит, \(E\) — середина диагонали \(BD\). По условию \(ME=KE\), поэтому \(E\) также середина диагонали \(MK\).

В четырёхугольнике \(BKDM\) диагонали \(BD\) и \(MK\) пересекаются и делятся пополам. Следовательно, этот четырёхугольник является параллелограммом.

\[ \boxed{BKDM\text{ — параллелограмм}.} \]

Задание внизу фотографии

Стороны исходного треугольника: \(10\), \(12\) и \(14\) см. Стороны треугольника, образованного серединами сторон, в 2 раза меньше:

\[ 5,\ 6,\ 7\text{ см}. \]

Его периметр:

\[ 5+6+7=18\text{ см}. \]

Ответ: \(18\) см.