Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \(\boxed{45^\circ}\).
2. \(\boxed{\varphi=\arccos\frac1{3\sqrt{11}}\approx84{,}23^\circ}\).

Общий принцип

Выберем координаты:

\[ A(0,0,0),\quad B(a,0,0),\quad D(0,a,0),\quad A_1(0,0,a). \]

Угол между прямыми находим по направляющим векторам:

\[ \cos\varphi= \frac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u|\,|\vec v|}. \]

Модуль нужен потому, что для прямых берётся меньший угол.

---

1. Угол между \(AD_1\) и \(BM\)

Так как \(M\) — середина \(DD_1\),

\[ M\left(0,a,\frac a2\right). \]

Направляющие векторы:

\[ \vec{AD_1}=(0,a,a), \]

\[ \vec{BM}=\left(-a,a,\frac a2\right). \]

Скалярное произведение:

\[ \vec{AD_1}\cdot\vec{BM} =0\cdot(-a)+a^2+\frac{a^2}{2} =\frac{3a^2}{2}. \]

Длины векторов:

\[ |\vec{AD_1}|=a\sqrt2, \]

\[ |\vec{BM}|= \sqrt{a^2+a^2+\frac{a^2}{4}} =\frac{3a}{2}. \]

Тогда

\[ \cos\varphi= \frac{\frac{3a^2}{2}}{a\sqrt2\cdot\frac{3a}{2}} =\frac1{\sqrt2}. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\varphi=45^\circ}. \]

---

2. Угол между \(A_1M\) и \(DB_1\)

Из условия \(BM:MC=1:3\), значит,

\[ BM=\frac14BC. \]

Поэтому

\[ M\left(a,\frac a4,0\right). \]

Направляющие векторы:

\[ \vec{A_1M}=\left(a,\frac a4,-a\right), \]

\[ \vec{DB_1}=(a,-a,a). \]

Скалярное произведение:

\[ \vec{A_1M}\cdot\vec{DB_1} =a^2-\frac{a^2}{4}-a^2 =-\frac{a^2}{4}. \]

Длины:

\[ |\vec{A_1M}| =\sqrt{a^2+\frac{a^2}{16}+a^2} =\frac{a\sqrt{33}}4, \]

\[ |\vec{DB_1}|=a\sqrt3. \]

Следовательно,

\[ \cos\varphi= \frac{\frac{a^2}{4}} {\frac{a\sqrt{33}}4\cdot a\sqrt3} =\frac1{\sqrt{99}} =\frac1{3\sqrt{11}}. \]

Значит,

\[ \boxed{\varphi=\arccos\frac1{3\sqrt{11}}\approx84{,}23^\circ}. \]

Знак «минус» в скалярном произведении не меняет ответ: для угла между прямыми берут меньший угол.