сделай показательные уравнения

Ниже — подробный разбор всех 13 уравнений. Использую три приёма: приведение к одному основанию, «вынесение» общего множителя и замену переменной. Везде работает главное правило: если \(a>0,\ a\ne1\), то \(a^{f}=a^{g}\iff f=g\).

1. \(3^{5x-17}=27\)

\(27=3^3\), поэтому \(3^{5x-17}=3^3\). Основания равны, функция \(3^t\) монотонна ⇒ показатели равны: \(5x-17=3\Rightarrow 5x=20\Rightarrow \boxed{x=4}\). Проверка: \(3^{20-17}=3^3=27\). ✓

2. \(25^{1-3x}=\dfrac{1}{625}\)

\(625=25^2\), значит \(\dfrac{1}{625}=25^{-2}\): \(1-3x=-2\Rightarrow -3x=-3\Rightarrow \boxed{x=1}\). Проверка: \(25^{1-3}=25^{-2}=\frac1{625}\). ✓

3. \(7^{4x-3}=49^{3x}\)

\(49^{3x}=(7^2)^{3x}=7^{6x}\), т. е. степень степени — показатели перемножаются: \(4x-3=6x\Rightarrow -3=2x\Rightarrow \boxed{x=-\tfrac32}\). Проверка: слева \(7^{-6-3}=7^{-9}\), справа \(7^{-9}\). ✓

4. \(0{,}2^{\,5x-3}=\sqrt5\)

\(\;0{,}2=\frac15=5^{-1}\), а \(\sqrt5=5^{1/2}\). Тогда \(0{,}2^{\,5x-3}=\left(5^{-1}\right)^{5x-3}=5^{-(5x-3)}=5^{\,3-5x}\). Получаем \(5^{\,3-5x}=5^{1/2}\): \(3-5x=\frac12\Rightarrow 5x=\frac52\Rightarrow \boxed{x=\tfrac12}\). (В прошлом ответе для этого номера стояло \(\frac{7}{10}\) — это опечатка: верный ответ \(\frac12\), проверка: \(0{,}2^{2{,}5-3}=0{,}2^{-0{,}5}=5^{0{,}5}=\sqrt5\).)

5. \(4^{9x-11}=\dfrac{1}{16}\)

\(16=4^2\Rightarrow \frac1{16}=4^{-2}\): \(9x-11=-2\Rightarrow 9x=9\Rightarrow \boxed{x=1}\).

6. \(2\cdot 0{,}5^{\,x+7}=\dfrac18\)

\(0{,}5=\frac12=2^{-1}\), значит \(0{,}5^{x+7}=2^{-(x+7)}\). Левая часть: \(2^{1}\cdot 2^{-(x+7)}=2^{\,1-(x+7)}=2^{-x-6}\). Правая часть: \(\frac18=2^{-3}\). Тогда \(-x-6=-3\Rightarrow x=-3\). Ответ: \(\boxed{x=-3}\). Проверка: \(2\cdot0{,}5^{4}=2\cdot\frac1{16}=\frac18\). ✓

7. \(2^{\,x^2+3x}=\dfrac14\)

\(\dfrac14=2^{-2}\), основание одно: \(x^2+3x=-2\Rightarrow x^2+3x+2=0\Rightarrow (x+1)(x+2)=0\Rightarrow \boxed{x=-1;\ -2}\). Проверка: при \(x=-1\): \(2^{1-3}=2^{-2}=\frac14\) ✓.

8. \(5^{\,6-x}=125^{x}\)

\(125=5^3\Rightarrow 125^x=5^{3x}\): \(6-x=3x\Rightarrow 6=4x\Rightarrow \boxed{x=\tfrac32}\). Проверка: \(5^{4{,}5}=5^{4{,}5}\). ✓

9. \(\left(\dfrac15\right)^{4-x}=\dfrac{1}{25}\)

\(\dfrac{1}{25}=\left(\frac15\right)^2\). Основания одинаковые: \(4-x=2\Rightarrow \boxed{x=2}\). Проверка: \(\left(\frac15\right)^{2}=\frac1{25}\). ✓

10. \(35\cdot 7^{x}=5\)

Делим обе части на 35: \(7^{x}=\frac{5}{35}=\frac17=7^{-1}\Rightarrow \boxed{x=-1}\).

11. \(2^{\,x-3}=3^{\,3-x}\)

Заметим, что \(3-x=-(x-3)\), поэтому \(3^{\,3-x}=3^{-(x-3)}\). Умножим обе части на \(3^{\,x-3}\) (это положительное число, знак не меняется): \(2^{\,x-3}\cdot 3^{\,x-3}=1\Rightarrow (2\cdot3)^{x-3}=1\Rightarrow 6^{\,x-3}=6^{0}\Rightarrow x-3=0\Rightarrow \boxed{x=3}\). Проверка: \(2^0=3^0=1\). ✓

12. \(9^{x}-3^{\,x+1}=54\)

\(9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2\), а \(3^{x+1}=3\cdot3^x\). Замена \(t=3^x>0\): \(t^2-3t=54\Rightarrow t^2-3t-54=0\). \(D=9+216=225=15^2\), \(t=\frac{3\pm15}{2}\): \(t=9\) или \(t=-6\) — второй корень отбрасываем, так как \(3^x>0\). \(3^x=9=3^2\Rightarrow \boxed{x=2}\).

13. \(13^{\,2x+1}-13^{x}-12=0\)

\(13^{2x+1}=13\cdot13^{2x}=13\cdot(13^x)^2\). Замена \(t=13^x>0\): \(13t^2-t-12=0\). \(D=1+4\cdot13\cdot12=1+624=625=25^2\), \(t=\frac{1\pm25}{26}\): \(t=1\) или \(t=-\frac{24}{26}=-\frac{12}{13}\) — отрицательный корень не подходит. \(13^x=1=13^{0}\Rightarrow \boxed{x=0}\).

Ответы: 1) 4; 2) 1; 3) −3/2; 4) 1/2; 5) 1; 6) −3; 7) −1 и −2; 8) 3/2; 9) 2; 10) −1; 11) 3; 12) 2; 13) 0.