Разбери все подробно
Пришли полное условие или фото задания.
Обсуждение
2 сообщенияЭто продолжение текущего задания: ты прислал фото варианта 5 после просьбы отправить условие. Разберём все уравнения подробно.
1. \(3^{5x-17}=27\)
Представим \(27\) как степень числа \(3\):
\[ 27=3^3. \]
Тогда:
\[ 3^{5x-17}=3^3. \]
Основания одинаковые, значит, приравниваем показатели:
\[ 5x-17=3, \]
\[ 5x=20, \]
\[ \boxed{x=4}. \]
2. \(25^{1-3x}=\dfrac1{625}\)
Представим числа через основание \(5\):
\[ 25=5^2,\qquad 625=5^4. \]
Тогда:
\[ (5^2)^{1-3x}=\frac1{5^4}. \]
Используем свойства степеней:
\[ 5^{2(1-3x)}=5^{-4}. \]
Приравниваем показатели:
\[ 2(1-3x)=-4, \]
\[ 2-6x=-4, \]
\[ -6x=-6, \]
\[ \boxed{x=1}. \]
3. \(7^{4x-3}=49^{3x}\)
Представим \(49\) как степень числа \(7\):
\[ 49=7^2. \]
Тогда:
\[ 7^{4x-3}=(7^2)^{3x}. \]
\[ 7^{4x-3}=7^{6x}. \]
Приравниваем показатели:
\[ 4x-3=6x, \]
\[ -3=2x, \]
\[ \boxed{x=-\frac32}. \]
4. \(0{,}2^{\,3-5x}=\sqrt5\)
Представим \(0{,}2\) и \(\sqrt5\) через основание \(5\):
\[ 0{,}2=\frac15=5^{-1}, \qquad \sqrt5=5^{\frac12}. \]
Получаем:
\[ (5^{-1})^{3-5x}=5^{\frac12}. \]
\[ 5^{-(3-5x)}=5^{\frac12}. \]
Раскрываем скобки в показателе:
\[ 5^{5x-3}=5^{\frac12}. \]
Приравниваем показатели:
\[ 5x-3=\frac12, \]
\[ 5x=\frac12+3=\frac72, \]
\[ \boxed{x=\frac7{10}}. \]
5. \(4^{9x-11}=\dfrac1{16}\)
Представим правую часть как степень числа \(4\):
\[ \frac1{16}=\frac1{4^2}=4^{-2}. \]
Тогда:
\[ 4^{9x-11}=4^{-2}. \]
Приравниваем показатели:
\[ 9x-11=-2, \]
\[ 9x=9, \]
\[ \boxed{x=1}. \]
6. \(2\cdot 0{,}5^{\,x+7}=\dfrac18\)
Представим \(0{,}5\) и \(\dfrac18\) через основание \(2\):
\[ 0{,}5=\frac12=2^{-1}, \qquad \frac18=2^{-3}. \]
Подставим:
\[ 2\cdot (2^{-1})^{x+7}=2^{-3}. \]
\[ 2\cdot 2^{-(x+7)}=2^{-3}. \]
Число \(2\) можно записать как \(2^1\):
\[ 2^{1-(x+7)}=2^{-3}. \]
\[ 2^{-x-6}=2^{-3}. \]
Приравниваем показатели:
\[ -x-6=-3, \]
\[ -x=3, \]
\[ \boxed{x=-3}. \]
7. \(2^{x^2+3x}=\dfrac14\)
Представим дробь как степень двойки:
\[ \frac14=2^{-2}. \]
Тогда:
\[ 2^{x^2+3x}=2^{-2}. \]
Приравниваем показатели:
\[ x^2+3x=-2. \]
Переносим всё в левую часть:
\[ x^2+3x+2=0. \]
Разложим на множители:
\[ (x+1)(x+2)=0. \]
Отсюда:
\[ x+1=0 \quad \text{или} \quad x+2=0. \]
\[ \boxed{x_1=-1,\qquad x_2=-2}. \]
8. \(\left(\dfrac15\right)^{x-6}=125^x\)
Представим обе части через основание \(5\):
\[ \frac15=5^{-1}, \qquad 125=5^3. \]
Тогда:
\[ (5^{-1})^{x-6}=(5^3)^x. \]
\[ 5^{-(x-6)}=5^{3x}. \]
\[ 5^{6-x}=5^{3x}. \]
Приравниваем показатели:
\[ 6-x=3x, \]
\[ 6=4x, \]
\[ \boxed{x=\frac32}. \]
9. \(2^{4-x}=0{,}04\cdot 10^{4-x}\)
Представим десятичную дробь:
\[ 0{,}04=\frac4{100}=\frac1{25}=5^{-2}. \]
Также:
\[ 10=2\cdot5. \]
Подставим:
\[ 2^{4-x}=5^{-2}(2\cdot5)^{4-x}. \]
Раскроем степень произведения:
\[ 2^{4-x}=5^{-2}\cdot2^{4-x}\cdot5^{4-x}. \]
Объединим степени с основанием \(5\):
\[ 2^{4-x}=2^{4-x}\cdot5^{\,4-x-2}. \]
\[ 2^{4-x}=2^{4-x}\cdot5^{2-x}. \]
Так как \(2^{4-x}\neq0\), разделим обе части на \(2^{4-x}\):
\[ 1=5^{2-x}. \]
Единица — это \(5^0\), поэтому:
\[ 5^{2-x}=5^0. \]
\[ 2-x=0, \]
\[ \boxed{x=2}. \]
10. \(7^{x+2}-14\cdot7^x=5\)
Вынесем \(7^x\) за скобки:
\[ 7^x\cdot7^2-14\cdot7^x=5. \]
\[ 7^x(49-14)=5. \]
\[ 35\cdot7^x=5. \]
\[ 7^x=\frac5{35}=\frac17=7^{-1}. \]
Следовательно:
\[ x=-1. \]
\[ \boxed{x=-1}. \]
11. \(2^{x-3}=3^{3-x}\)
Заметим, что:
\[ 3-x=-(x-3). \]
Тогда:
\[ 2^{x-3}=3^{-(x-3)}. \]
Умножим обе части на \(3^{x-3}\):
\[ 2^{x-3}\cdot3^{x-3}=1. \]
Объединим степени:
\[ (2\cdot3)^{x-3}=1. \]
\[ 6^{x-3}=1. \]
Степень числа, не равного \(1\), равна \(1\), только если показатель равен нулю:
\[ x-3=0, \]
\[ \boxed{x=3}. \]
12. \(9^x-3^{x+1}=54\)
Представим \(9^x\) через основание \(3\):
\[ 9^x=(3^2)^x=3^{2x}. \]
Введём замену:
\[ t=3^x. \]
Тогда:
\[ 3^{2x}=(3^x)^2=t^2, \]
а
\[ 3^{x+1}=3^x\cdot3=3t. \]
Получаем квадратное уравнение:
\[ t^2-3t=54, \]
\[ t^2-3t-54=0. \]
Разложим на множители:
\[ (t-9)(t+6)=0. \]
Отсюда:
\[ t=9 \quad \text{или} \quad t=-6. \]
Но \(t=3^x>0\), поэтому \(t=-6\) не подходит.
Остаётся:
\[ 3^x=9=3^2. \]
Следовательно:
\[ \boxed{x=2}. \]
13. \(13^{2x+1}-13^x-12=0\)
Введём замену:
\[ t=13^x. \]
Тогда:
\[ 13^{2x+1}=13\cdot13^{2x} =13(13^x)^2=13t^2. \]
Уравнение принимает вид:
\[ 13t^2-t-12=0. \]
Разложим на множители:
\[ 13t^2-t-12=(t-1)(13t+12). \]
Тогда:
\[ (t-1)(13t+12)=0. \]
Получаем:
\[ t-1=0 \quad \text{или} \quad 13t+12=0. \]
\[ t=1 \quad \text{или} \quad t=-\frac{12}{13}. \]
Но \(t=13^x>0\), поэтому отрицательный корень не подходит.
Значит:
\[ 13^x=1=13^0, \]
\[ \boxed{x=0}. \]
Ответы
\[ \boxed{ \begin{aligned} 1)&\ x=4,\\ 2)&\ x=1,\\ 3)&\ x=-\frac32,\\ 4)&\ x=\frac7{10},\\ 5)&\ x=1,\\ 6)&\ x=-3,\\ 7)&\ x=-1,\,-2,\\ 8)&\ x=\frac32,\\ 9)&\ x=2,\\ 10)&\ x=-1,\\ 11)&\ x=3,\\ 12)&\ x=2,\\ 13)&\ x=0. \end{aligned} } \]
