Реши задание на изображении

Краткий ответ:

а) третья сторона: \(\boxed{17\text{ см}}\);

б) площадь: \(\boxed{84\text{ см}^2}\);

в) радиус описанной окружности: \(\boxed{10{,}625\text{ см}}\) или \(\boxed{10\frac58\text{ см}}\).

Решение

Обозначим треугольник \(ABC\), где:

• \(AB=10\) см;
• \(AC=21\) см;
• \(\cos\angle A=0{,}6\);
• \(BC=x\) — третья сторона.

Схематичный рисунок:

        B
       / \
  10  /   \ x
     /     \
    A-------C
       21
   cos A = 0,6

а) Длина третьей стороны

По теореме косинусов:

\[ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A. \]

Подставим значения:

\[ BC^2=10^2+21^2-2\cdot10\cdot21\cdot0{,}6; \]

\[ BC^2=100+441-252=289. \]

Следовательно,

\[ BC=\sqrt{289}=17\text{ см}. \]

б) Площадь треугольника

Сначала найдём синус угла \(A\):

\[ \sin A=\sqrt{1-\cos^2 A} =\sqrt{1-0{,}6^2} =\sqrt{0{,}64}=0{,}8. \]

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними:

\[ S=\frac12 AB\cdot AC\cdot\sin A. \]

\[ S=\frac12\cdot10\cdot21\cdot0{,}8=84\text{ см}^2. \]

в) Радиус описанной окружности

Используем формулу:

\[ R=\frac{abc}{4S}, \]

где \(a=10\), \(b=21\), \(c=17\).

\[ R=\frac{10\cdot21\cdot17}{4\cdot84} =\frac{3570}{336} =\frac{85}{8} =10{,}625\text{ см}. \]

Проверка

Можно проверить радиус по формуле \(a=2R\sin A\), где \(a=BC=17\):

\[ R=\frac{17}{2\cdot0{,}8} =\frac{17}{1{,}6} =10{,}625\text{ см}. \]

Результат совпадает.