Реши все

Краткий ответ

1. Решите уравнение

1. \(x^4-60x^2+49=0\)

\[ x=\pm\sqrt{30+\sqrt{851}},\qquad x=\pm\sqrt{30-\sqrt{851}}. \]

2. \(x^4-5x^2-36=0\)

\[ x=-3,\quad x=3. \]

2. Решите методом замены переменной

1. \((x^2-9)^2-4(x^2-9)+3=0\)

\[ x=\pm\sqrt{10},\qquad x=\pm2\sqrt3. \]

2. \((x+5)^4-10(x+5)^2+9=0\)

\[ x=-8,\,-6,\,-4,\,-2. \]

3. \((x^2+3x)^2-2(x^2+3x)-8=0\)

\[ x=-4,\,-2,\,-1,\,1. \]

---

Решение

1.1. \(x^4-60x^2+49=0\)

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену:

\[ t=x^2,\qquad t\ge 0. \]

Получим:

\[ t^2-60t+49=0. \]

Дискриминант:

\[ D=(-60)^2-4\cdot1\cdot49=3404=4\cdot851. \]

Тогда

\[ t=\frac{60\pm\sqrt{3404}}2 =30\pm\sqrt{851}. \]

Оба значения положительны, поэтому:

\[ x^2=30+\sqrt{851} \quad\text{или}\quad x^2=30-\sqrt{851}. \]

Следовательно,

\[ \boxed{x=\pm\sqrt{30+\sqrt{851}},\quad x=\pm\sqrt{30-\sqrt{851}}}. \]

Проверка:

\[ (30+\sqrt{851})(30-\sqrt{851})=900-851=49, \]

а сумма этих значений равна \(60\), значит они действительно являются корнями уравнения для \(t\).

---

1.2. \(x^4-5x^2-36=0\)

Пусть

\[ t=x^2. \]

Тогда:

\[ t^2-5t-36=0. \]

Разложим на множители:

\[ (t-9)(t+4)=0. \]

Отсюда:

\[ t=9\quad\text{или}\quad t=-4. \]

Так как \(t=x^2\ge0\), значение \(t=-4\) не подходит.

\[ x^2=9, \]

поэтому

\[ \boxed{x=-3,\quad x=3}. \]

---

2. Решение методом замены переменной

2.1. \((x^2-9)^2-4(x^2-9)+3=0\)

Пусть

\[ t=x^2-9. \]

Тогда:

\[ t^2-4t+3=0. \]

Разложим:

\[ (t-1)(t-3)=0. \]

Получаем:

\[ t=1\quad\text{или}\quad t=3. \]

Возвращаемся к \(x\):

1. Если \(x^2-9=1\), то

\[ x^2=10,\qquad x=\pm\sqrt{10}. \]

2. Если \(x^2-9=3\), то

\[ x^2=12,\qquad x=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt3. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=\pm\sqrt{10},\quad x=\pm2\sqrt3}. \]

---

2.2. \((x+5)^4-10(x+5)^2+9=0\)

Пусть

\[ t=(x+5)^2. \]

Тогда:

\[ t^2-10t+9=0. \]

Разложим:

\[ (t-1)(t-9)=0. \]

Отсюда:

\[ t=1\quad\text{или}\quad t=9. \]

1. \((x+5)^2=1\):

\[ x+5=\pm1, \]

\[ x=-4\quad\text{или}\quad x=-6. \]

2. \((x+5)^2=9\):

\[ x+5=\pm3, \]

\[ x=-2\quad\text{или}\quad x=-8. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=-8,\,-6,\,-4,\,-2}. \]

---

2.3. \((x^2+3x)^2-2(x^2+3x)-8=0\)

Пусть

\[ t=x^2+3x. \]

Получаем:

\[ t^2-2t-8=0. \]

Разложим:

\[ (t-4)(t+2)=0. \]

Следовательно:

\[ t=4\quad\text{или}\quad t=-2. \]

1. Если \(x^2+3x=4\), то

\[ x^2+3x-4=0, \]

\[ (x+4)(x-1)=0. \]

Отсюда:

\[ x=-4\quad\text{или}\quad x=1. \]

2. Если \(x^2+3x=-2\), то

\[ x^2+3x+2=0, \]

\[ (x+1)(x+2)=0. \]

Отсюда:

\[ x=-1\quad\text{или}\quad x=-2. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=-4,\,-2,\,-1,\,1}. \]

Во всех заданиях после замены получилось квадратное уравнение, а затем выполнена обратная подстановка, поэтому найденные корни подходят.