2.109

Краткий ответ:

1. \[ 4a^3b-10a^2b^2+2ab^3 =2ab(2a^2-5ab+b^2). \]

2. \[ 18x^3y+21x^2y^2-3xy^3 =3xy(6x^2+7xy-y^2). \]

3. \[ 8x^5y^2-12x^4y^2+12x^3y^2-4x^2y^2 =4x^2y^2(2x^3-3x^2+3x-1). \]

4. \[ -20x^2y^3z^2-35x^3y^2z^3+15x^3y^2z^2 =5x^2y^2z^2(-4y-7xz+3x). \]

5. \[ 16a^5b-8a^4b^3-6a^3b^3+10a^2b^4 =2a^2b(8a^3-4a^2b^2-3ab^2+5b^3). \]

6. \[ 6a^4x^3-15a^3x^4+15a^2x^5-9ax^6 =3ax^3(2a^3-5a^2x+5ax^2-3x^3). \]

Как находить общий множитель

1. Находим НОД числовых коэффициентов.
2. У каждой переменной берём наименьшую степень, встречающуюся во всех слагаемых.
3. Делим каждое слагаемое на найденный множитель — получаем выражение в скобках.

Например, в пункте 4:

• НОД чисел \(20,35,15\) равен \(5\);
• минимальные степени: \(x^2,\ y^2,\ z^2\).

Значит, общий множитель — \(5x^2y^2z^2\). Делим слагаемые:

\[ \frac{-20x^2y^3z^2}{5x^2y^2z^2}=-4y, \quad \frac{-35x^3y^2z^3}{5x^2y^2z^2}=-7xz, \quad \frac{15x^3y^2z^2}{5x^2y^2z^2}=3x. \]

Получаем:

\[ 5x^2y^2z^2(-4y-7xz+3x). \]

Проверка выполняется раскрытием скобок: например,

\[ 2ab(2a^2-5ab+b^2) =4a^3b-10a^2b^2+2ab^3. \]