реши номера 466

Краткий ответ:

\[ \boxed{\text{а) }\frac{3}{\sqrt{29}},\qquad \text{б) }\frac{2}{\sqrt{58}},\qquad \text{в) }\frac{1}{\sqrt{87}},\qquad \text{г) }\frac{9}{\sqrt{87}}} \]

Решение

Пусть ребро куба равно \(a\). Введём координаты:

\[ A(0,0,0),\quad B(a,0,0),\quad C(a,a,0),\quad D(0,a,0), \] \[ A_1(0,0,a),\quad B_1(a,0,a). \]

Так как

\[ AM:MA_1=3:1, \]

то

\[ M\left(0,0,\frac{3a}{4}\right). \]

Точка \(N\) — середина \(BC\), поэтому

\[ N\left(a,\frac a2,0\right). \]

Направляющий вектор прямой \(MN\):

\[ \overrightarrow{MN} =\left(a,\frac a2,-\frac{3a}{4}\right). \]

Умножим его на \(\frac4a\), получим более удобный вектор:

\[ \vec u=(4,2,-3),\qquad |\vec u|=\sqrt{4^2+2^2+(-3)^2}=\sqrt{29}. \]

Для угла между прямыми используем формулу

\[ \cos\varphi= \frac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u|\,|\vec v|}. \]

Модуль скалярного произведения берём потому, что угол между прямыми считается острым.

а) \(MN\) и \(DD_1\)

Направляющий вектор \(DD_1\):

\[ \vec v=(0,0,1). \]

\[ |\vec u\cdot\vec v|=|{-3}|=3,\qquad |\vec v|=1. \]

Следовательно,

\[ \cos\varphi=\frac{3}{\sqrt{29}}. \]

б) \(MN\) и \(BD\)

Направляющий вектор \(BD\):

\[ \vec v=(-1,1,0). \]

\[ |\vec u\cdot\vec v| =|4\cdot(-1)+2\cdot1| =|-2|=2, \]

\[ |\vec v|=\sqrt2. \]

Тогда

\[ \cos\varphi =\frac{2}{\sqrt{29}\sqrt2} =\frac{2}{\sqrt{58}}. \]

в) \(MN\) и \(B_1D\)

Направляющий вектор \(B_1D\):

\[ \vec v=(-1,1,-1),\qquad |\vec v|=\sqrt3. \]

\[ |\vec u\cdot\vec v| =|4\cdot(-1)+2\cdot1+(-3)\cdot(-1)| =|1|=1. \]

Поэтому

\[ \cos\varphi =\frac{1}{\sqrt{29}\sqrt3} =\frac{1}{\sqrt{87}}. \]

г) \(MN\) и \(A_1C\)

Направляющий вектор \(A_1C\):

\[ \vec v=(1,1,-1),\qquad |\vec v|=\sqrt3. \]

\[ |\vec u\cdot\vec v| =|4+2+3|=9. \]

Следовательно,

\[ \cos\varphi =\frac{9}{\sqrt{29}\sqrt3} =\frac{9}{\sqrt{87}}. \]

Проверка: все полученные значения лежат от \(0\) до \(1\), как и должен косинус угла между прямыми.