Реши задание на изображении

Краткий ответ

Задание 3:

• а) \(BC \approx 11\) см;
• б) \(AC \approx 17\) см.

Задание 4: высота к третьей стороне равна
\[ \boxed{6\text{ см}}. \]

Задание 3

Схема

        A
      40°
      /  \
 AB=16  AC
    /      \
 B----------C
  75°      65°
       BC

Сначала найдём третий угол:

\[ \angle B=180^\circ-40^\circ-65^\circ=75^\circ. \]

По теореме синусов:

\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}. \]

Значения синусов, округлённые до тысячных:

\[ \sin40^\circ\approx0{,}643,\quad \sin65^\circ\approx0{,}906,\quad \sin75^\circ\approx0{,}966. \]

а) Найдём \(BC\)

\[ BC=\frac{AB\cdot\sin A}{\sin C} =\frac{16\cdot0{,}643}{0{,}906} \approx11{,}355. \]

Округляем длину до целых:

\[ \boxed{BC\approx11\text{ см}}. \]

б) Найдём \(AC\)

\[ AC=\frac{AB\cdot\sin B}{\sin C} =\frac{16\cdot0{,}966}{0{,}906} \approx17{,}060. \]

\[ \boxed{AC\approx17\text{ см}}. \]

Проверка: сторона \(AC\) лежит напротив угла \(75^\circ\), поэтому она должна быть самой длинной. Действительно, \(17>16>11\).

Задание 4

Пусть \(AB=8\) см и \(AC=15\) см — известные стороны, \(BC\) — третья сторона, а \(AD\) — высота к ней.

        A
       /|\
   8  / | \ 15
     /  |  \
    B---D---C
        ⟂
       BC

Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

\[ S=\frac12\cdot BC\cdot AD \]

и по формуле через радиус описанной окружности:

\[ S=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4R}. \]

Приравняем:

\[ \frac12 BC\cdot AD = \frac{8\cdot15\cdot BC}{4\cdot10}. \]

Сокращаем на \(BC\):

\[ \frac{AD}{2}=\frac{8\cdot15}{4\cdot10}. \]

Отсюда

\[ AD=\frac{8\cdot15}{2\cdot10} =\frac{120}{20}=6\text{ см}. \]

\[ \boxed{AD=6\text{ см}}. \]