Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \(\boxed{BC=20\text{ см},\ AC=16\text{ см}}\).
2. \(\boxed{EF=12\text{ см}}\).
3. Теорема Фалеса и её доказательство — ниже.

1) Нахождение \(BC\) и \(AC\)

Медиана \(BK\) делит сторону \(AC\) пополам, поэтому

\[ KA=KC=8\text{ см}, \]

\[ AC=2\cdot KC=2\cdot8=16\text{ см}. \]

Медиана \(AD\) делит сторону \(BC\) пополам, значит \(D\) — середина \(BC\).

В стандартном расположении задачи \(M\in BC\). В треугольнике \(ACD\):

• \(K\) — середина \(AC\);
• \(KM\parallel AD\).

По теореме Фалеса точка \(M\) — середина \(CD\). Поэтому

\[ CM=MD=5\text{ см}, \]

\[ CD=2\cdot5=10\text{ см}. \]

Так как \(D\) — середина \(BC\),

\[ BC=2\cdot CD=2\cdot10=20\text{ см}. \]

Проверка: \(AC/2=8\), \(BC/4=5\).

---

2) Нахождение \(EF\)

Отрезки \(ME\), \(BD\) и \(KF\) перпендикулярны одной и той же прямой \(AC\), поэтому

\[ ME\parallel BD\parallel KF. \]

В треугольнике \(ABD\):

• \(M\) — середина \(AB\);
• \(ME\parallel BD\).

Значит, \(E\) — середина \(AD\):

\[ ED=\frac{AD}{2}. \]

В треугольнике \(BCD\) аналогично:

\[ DF=\frac{DC}{2}. \]

Следовательно,

\[ EF=ED+DF =\frac{AD}{2}+\frac{DC}{2} =\frac{AD+DC}{2} =\frac{AC}{2}. \]

Так как \(AC=24\text{ см}\),

\[ EF=\frac{24}{2}=\boxed{12\text{ см}}. \]

---

3) Теорема Фалеса

Формулировка:

Если несколько параллельных прямых пересекают стороны угла и отсекают на одной его стороне равные отрезки, то на другой стороне они также отсекают равные отрезки.

Доказательство:

Пусть стороны угла имеют вершину \(O\). На одной стороне выбраны точки \(A_1,A_2,A_3\), причём

\[ A_1A_2=A_2A_3. \]

Через эти точки проведены параллельные прямые, которые пересекают вторую сторону угла в точках \(B_1,B_2,B_3\).

Треугольники \(OA_1B_1\), \(OA_2B_2\), \(OA_3B_3\) подобны, так как у них общий угол при \(O\), а остальные углы равны как соответственные при параллельных прямых.

Поэтому существует одно и то же число \(k\), для которого

\[ \frac{OB_1}{OA_1} = \frac{OB_2}{OA_2} = \frac{OB_3}{OA_3} =k. \]

Тогда

\[ B_1B_2=OB_2-OB_1 =k(A_2A_1)=kA_1A_2, \]

\[ B_2B_3=OB_3-OB_2 =k(A_3A_2)=kA_2A_3. \]

Так как \(A_1A_2=A_2A_3\), получаем

\[ B_1B_2=B_2B_3. \]

Теорема доказана.