Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Исследование уравнений и решений
Для уравнения \(x^2 + bx + c = 0\) я хочу найти числа, произведение которых равно \(c\), а сумма — \(b\). Например, при произведении 6 и сумме -5 такими числами будут -2 и -3. Поэтому я получаю \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\). Теперь я думаю, что было бы полезно показать решение с использованием дискриминанта, поскольку это естественный следующий шаг! Я постараюсь сделать его кратким.
Краткий ответ:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3.
\]
Решение:
Найдём два числа, которые:
- в произведении дают \(6\);
- в сумме дают \(-5\).
Это числа \(-2\) и \(-3\). Поэтому разложим многочлен на множители:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Получаем:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \]
Отсюда:
\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0; \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Оба значения подходят.
