Решение
Краткий ответ (при \(v_0=4\ \text{м/с}\), \(a=2\ \text{м/с}^2\), \(0\le t\le5\ \text{с}\)):
\[ \boxed{a(t)=2\ \text{м/с}^2} \]
\[ \boxed{v(t)=4+2t\ \text{м/с}} \]
\[ \boxed{s(t)=4t+t^2\ \text{м}} \]
Здесь принято, что \(s(0)=0\).
Решение
Движение равноускоренное, поэтому:
Ускорение постоянно: \[ a(t)=a=2\ \text{м/с}^2. \] График — горизонтальная прямая на уровне \(2\).
Скорость: \[ v(t)=v_0+at=4+2t. \]
Путь: \[ s(t)=v_0t+\frac{at^2}{2} =4t+\frac{2t^2}{2} =4t+t^2. \]
Таблица точек для построения
| \(t\), с | \(a\), м/с² | \(v\), м/с | \(s\), м |
|---|---|---|---|
| 0 | 2 | 4 | 0 |
| 1 | 2 | 6 | 5 |
| 2 | 2 | 8 | 12 |
| 3 | 2 | 10 | 21 |
| 4 | 2 | 12 | 32 |
| 5 | 2 | 14 | 45 |
Значит, график \(v(t)\) — возрастающая прямая, а график \(s(t)\) — ветвь параболы, направленная вверх.
Проверка при \(t=5\ \text{с}\):
\[ v(5)=4+2\cdot5=14\ \text{м/с}, \]
\[ s(5)=4\cdot5+5^2=45\ \text{м}. \]
Обсуждение
5 сообщенийПокажи, как аккуратно построить эти три графика
Покажи, как аккуратно построить эти три графика
Построим три отдельных графика на одном промежутке времени:
\[ 0\le t\le 5\ \text{с}. \]
Во всех графиках по горизонтали откладываем \(t\), а вертикальная ось будет разной.
1. График ускорения \(a(t)\)
Формула:
\[ a(t)=2\ \text{м/с}^2. \]
Как строить
- На оси \(t\) отметь значения \(0,1,2,3,4,5\) с.
- На вертикальной оси отметь \(a=2\ \text{м/с}^2\).
- Поставь точки:
\[ (0;2),\ (1;2),\ (2;2),\ (3;2),\ (4;2),\ (5;2). \]
- Соедини их горизонтальной прямой.
Получится:
a, м/с²
3 |
2 |──────────────
1 |
0 +---------------- t, с
0 1 2 3 4 5
2. График скорости \(v(t)\)
Формула:
\[ v(t)=v_0+at=4+2t. \]
Составим таблицу:
| \(t\), с | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(v\), м/с | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
Как строить
- На горизонтальной оси отметь \(t=0,1,2,3,4,5\) с.
- На вертикальной оси отметь скорость от \(0\) до \(14\ \text{м/с}\), удобно через \(2\ \text{м/с}\).
- Нанеси точки:
\[ (0;4),\ (1;6),\ (2;8),\ (3;10),\ (4;12),\ (5;14). \]
- Проведи через них прямую линию.
Важно: график начинается не из начала координат, а из точки
\[ v(0)=4\ \text{м/с}. \]
v, м/с
14 | ●
12 | ●
10 | ●
8 | ●
6 | ●
4 |●
2 |
0 +---------------------- t, с
0 1 2 3 4 5
3. График пути \(s(t)\)
Формула:
\[ s(t)=v_0t+\frac{at^2}{2}=4t+t^2. \]
Таблица значений:
| \(t\), с | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(s\), м | 0 | 5 | 12 | 21 | 32 | 45 |
Как строить
- На оси \(t\) отметь \(0,1,2,3,4,5\) с.
- На вертикальной оси отметь \(s\) от \(0\) до \(45\) м, удобно через \(5\) м.
- Нанеси точки:
\[ (0;0),\ (1;5),\ (2;12),\ (3;21),\ (4;32),\ (5;45). \]
- Соедини точки плавной кривой, выгнутой вверх. Это парабола.
s, м
45 | ●
40 |
35 | ●
30 |
25 |
20 | ●
15 |
10 | ●
5 | ●
0 +---------------------- t, с
0 1 2 3 4 5
Кривая должна становиться всё круче, потому что скорость постоянно увеличивается.
Как оформить аккуратно
- Для каждого графика подпиши оси и единицы измерения.
- По горизонтали можно взять масштаб: \(1\) клетка \(=1\) с.
- По вертикали масштаб можно выбирать отдельно:
- для \(a\): \(1\) клетка \(=1\ \text{м/с}^2\);
- для \(v\): \(1\) клетка \(=2\ \text{м/с}\);
- для \(s\): \(1\) клетка \(=5\ \text{м}\).
- Точки отмечай маленькими крестиками, а не большими кружками.
- Для \(s(t)\) не соединяй точки ломаной — проведи плавную параболу.
При \(v_0=4\ \text{м/с}\), \(a=2\ \text{м/с}^2\), \(0\le t\le5\ \text{с}\) и \(s(0)=0\):
\[ a(t)=2,\qquad v(t)=4+2t,\qquad s(t)=4t+t^2. \]
1. Составь таблицу значений
| \(t\), с | \(a(t)\), м/с² | \(v(t)\), м/с | \(s(t)\), м |
|---|---|---|---|
| 0 | 2 | 4 | 0 |
| 1 | 2 | 6 | 5 |
| 2 | 2 | 8 | 12 |
| 3 | 2 | 10 | 21 |
| 4 | 2 | 12 | 32 |
| 5 | 2 | 14 | 45 |
Для всех трёх графиков по горизонтали откладывай время \(t\).
2. График ускорения \(a(t)\)
Выбери оси:
- горизонтальная: \(t\), с;
- вертикальная: \(a\), м/с².
Отметь точки:
\[ (0;2),\ (1;2),\ (2;2),\ (3;2),\ (4;2),\ (5;2). \]
Все точки лежат на одной горизонтальной прямой:
a, м/с²
3 |
2 | ●────●────●────●────●────●
1 |
0 +──────────────────────────── t, с
0 1 2 3 4 5
График \(a(t)\) — горизонтальная прямая на уровне \(2\).
3. График скорости \(v(t)\)
Оси:
- горизонтальная: \(t\), с;
- вертикальная: \(v\), м/с.
Отметь точки:
\[ (0;4),\ (1;6),\ (2;8),\ (3;10),\ (4;12),\ (5;14). \]
Соедини их одной прямой по линейке:
v, м/с
14 | ●
12 | ●
10 | ●
8 | ●
6 | ●
4 |●
2 |
0 +──────────────────────────── t, с
0 1 2 3 4 5
Важно: график начинается не из нуля, а из точки
\[ v(0)=4\ \text{м/с}. \]
4. График пути \(s(t)\)
Оси:
- горизонтальная: \(t\), с;
- вертикальная: \(s\), м.
Отметь точки:
\[ (0;0),\ (1;5),\ (2;12),\ (3;21),\ (4;32),\ (5;45). \]
Здесь точки соединяют плавной кривой, а не ломаной:
s, м
45 | ●
40 | ╱
32 | ●──╯
25 | ╱
21 | ●──╯
15 | ╱
12 | ●─╯
5 | ●
0 |●
+──────────────────────────── t, с
0 1 2 3 4 5
Получается ветвь параболы, направленная вверх: путь за каждую следующую секунду увеличивается всё быстрее.
Как выбрать масштаб
Можно взять:
- для \(a(t)\): 1 деление \(=1\ \text{м/с}^2\);
- для \(v(t)\): 1 деление \(=2\ \text{м/с}\);
- для \(s(t)\): 1 деление \(=5\ \text{м}\).
Подпиши у каждого графика величины и единицы измерения.
На фото указано:
\[ v_0=4\ \text{м/с},\qquad a=2\ \text{м/с}^2,\qquad 0\le t\le5\ \text{с}. \]
Нужно построить \(a(t)\), \(v(t)\), \(s(t)\). Примем \(s(0)=0\).
1. Сначала подготовь таблицу
\[ a(t)=2, \]
\[ v(t)=v_0+at=4+2t, \]
\[ s(t)=v_0t+\frac{at^2}{2}=4t+t^2. \]
| \(t\), с | \(a\), м/с² | \(v\), м/с | \(s\), м |
|---|---|---|---|
| 0 | 2 | 4 | 0 |
| 1 | 2 | 6 | 5 |
| 2 | 2 | 8 | 12 |
| 3 | 2 | 10 | 21 |
| 4 | 2 | 12 | 32 |
| 5 | 2 | 14 | 45 |
В тетради лучше расположить три графика один под другим. Везде горизонтальная ось — время \(t\).
2. График \(a(t)\)
Выбери масштаб:
- по горизонтали: 1 клетка \(=1\ \text{с}\);
- по вертикали: 1 клетка \(=1\ \text{м/с}^2\).
Поставь точки:
\[ (0;2),\ (1;2),\ (2;2),\ (3;2),\ (4;2),\ (5;2). \]
Соедини их линейкой:
a, м/с²
3 |
2 | ●────●────●────●────●────●
1 |
0 +──────────────────────────── t, с
0 1 2 3 4 5
Получается горизонтальная прямая.
3. График \(v(t)\)
Выбери масштаб:
- по горизонтали: 1 клетка \(=1\ \text{с}\);
- по вертикали: 1 клетка \(=2\ \text{м/с}\).
Поставь точки:
\[ (0;4),\ (1;6),\ (2;8),\ (3;10),\ (4;12),\ (5;14). \]
Соедини их одной прямой по линейке:
v, м/с
14 | ●
12 | ●
10 | ●
8 | ●
6 | ●
4 |●
2 |
0 +──────────────────────────── t, с
0 1 2 3 4 5
Обрати внимание: график начинается в точке
\[ (0;4), \]
а не в начале координат.
4. График \(s(t)\)
Выбери масштаб:
- по горизонтали: 1 клетка \(=1\ \text{с}\);
- по вертикали: 1 клетка \(=5\ \text{м}\).
Поставь точки:
\[ (0;0),\ (1;5),\ (2;12),\ (3;21),\ (4;32),\ (5;45). \]
Соедини точки плавной линией, без углов:
s, м
45 | ●
40 | ╱
32 | ●──╯
25 | ╱
21 | ●───╯
15 | ╱
12 | ●─╯
5 | ●
0 |●
+──────────────────────────── t, с
0 1 2 3 4 5
Это парабола, выгнутая вверх: с каждой секундой тело проходит всё больший путь.
Итоговое оформление
У каждого графика обязательно подпиши:
- название функции;
- единицы измерения осей;
- масштаб;
- точки или формулу.
Для \(a(t)\) и \(v(t)\) используй линейку, а для \(s(t)\) проведи аккуратную плавную кривую.
