Реши задание на изображении
Краткий ответ
1. Сократите дробь:
а) \(\displaystyle \frac{2a}{7b}\), где \(a\ne0,\ b\ne0\);
б) \(\displaystyle \frac{3}{x+4}\), где \(x\ne0,\ x\ne-4\);
в) \(\displaystyle \frac{y-z}{2}\), где \(y+z\ne0\).
2. Представьте в виде одной дроби:
а) \(\displaystyle \frac{-x^2+18x-3}{3x^2}\), где \(x\ne0\);
б) \(\displaystyle \frac{2b}{4a^2-b^2}\), где \(2a-b\ne0,\ 2a+b\ne0\);
в) \(\displaystyle \frac{2}{c^2+3c}\), где \(c\ne0,\ c\ne-3\).
3. Значение выражения: \(\boxed{25}\).
4. Результат упрощения:
\[ \boxed{-\frac{6}{x(x+3)}},\qquad x\ne-3,\ 0,\ 3. \]
Решение
1. Сокращение дробей
Сокращать можно только одинаковые множители числителя и знаменателя.
а)
\[ \frac{14a^4b}{49a^3b^2} =\frac{2\cdot7\cdot a^3\cdot a\cdot b} {7\cdot7\cdot a^3\cdot b\cdot b} =\frac{2a}{7b}. \]
б)
Разложим знаменатель:
\[ \frac{3x}{x^2+4x} =\frac{3x}{x(x+4)} =\frac{3}{x+4}. \]
При этом из исходной дроби \(x\ne0\) и \(x\ne-4\).
в)
Применим формулу разности квадратов:
\[ y^2-z^2=(y-z)(y+z). \]
Тогда
\[ \frac{y^2-z^2}{2y+2z} =\frac{(y-z)(y+z)}{2(y+z)} =\frac{y-z}{2}. \]
Сокращение допустимо при \(y+z\ne0\).
2. Представление в виде одной дроби
а)
Общий знаменатель — \(3x^2\):
\[ \frac{3x-1}{x^2}-\frac{x-9}{3x} = \frac{3(3x-1)-x(x-9)}{3x^2}. \]
Раскрываем скобки:
\[ \frac{9x-3-x^2+9x}{3x^2} = \frac{-x^2+18x-3}{3x^2}. \]
б)
Общий знаменатель:
\[ (2a-b)(2a+b)=4a^2-b^2. \]
Поэтому
\[ \frac1{2a-b}-\frac1{2a+b} = \frac{2a+b-(2a-b)}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2b}{4a^2-b^2}. \]
в)
Заметим:
\[ c^2+3c=c(c+3). \]
Тогда
\[ \frac5{c+3}-\frac{5c-2}{c^2+3c} = \frac{5c}{c(c+3)}-\frac{5c-2}{c(c+3)}. \]
\[ =\frac{5c-(5c-2)}{c(c+3)} =\frac2{c^2+3c}. \]
3. Вычисление значения
Дано:
\[ \frac{a^2-b}{a}-a,\qquad a=0{,}2,\quad b=-5. \]
Сначала упростим:
\[ \frac{a^2-b}{a}-a =\frac{a^2-b-a^2}{a} =-\frac ba. \]
Подставим значения:
\[ -\frac{-5}{0{,}2}=\frac5{0{,}2}=25. \]
4. Упрощение выражения
\[ \frac3{x-3}-\frac{x+15}{x^2-9}-\frac2x. \]
Разложим:
\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]
Общий знаменатель — \(x(x-3)(x+3)\):
\[ \frac{3x(x+3)-x(x+15)-2(x^2-9)} {x(x-3)(x+3)}. \]
Раскрываем скобки:
\[ 3x^2+9x-x^2-15x-2x^2+18 =-6x+18=-6(x-3). \]
Следовательно,
\[ \frac{-6(x-3)}{x(x-3)(x+3)} =-\frac6{x(x+3)}. \]
Из исходного выражения сохраняются ограничения:
\[ x\ne-3,\quad x\ne0,\quad x\ne3. \]
