Реши задание на изображении

Ответ: \(O_1O_2=4\).

Обозначим \(O_1O_2=d\). Расположим центры на оси \(Ox\):

\[ O_2=(0,0), \qquad O_1=(d,0). \]

Так как общая хорда \(AB\) перпендикулярна линии центров \(O_1O_2\), можно записать:

\[ A=(x,y),\qquad B=(x,-y), \quad y\ne0. \]

Точка \(C\) лежит на окружности \(\omega_2\) радиуса \(2\) и на оси \(Ox\), значит

\[ C=(c,0),\qquad c=\pm2. \]

Для точки \(A\):

\[ x^2+y^2=4 \]

(так как \(A\in\omega_2\)) и

\[ (x-d)^2+y^2=12 \]

(так как \(A\in\omega_1\), её радиус \(2\sqrt3\)).

Вычтем первое равенство из второго:

\[ (x-d)^2-x^2=12-4, \]

\[ -2dx+d^2=8, \]

\[ x=\frac{d^2-8}{2d}. \]

По условию \(BC\parallel O_1A\). Векторы:

\[ \overrightarrow{BC}=(c-x,\;y), \]

\[ \overrightarrow{O_1A}=(x-d,\;y). \]

Их вторые координаты одинаковы и не равны нулю, значит векторы равны:

\[ c-x=x-d, \]

\[ c=2x-d. \]

Подставим найденное \(x\):

\[ c=2\cdot\frac{d^2-8}{2d}-d =\frac{d^2-8}{d}-d =-\frac8d. \]

Но \(c=\pm2\), поэтому

\[ -\frac8d=-2, \]

\[ d=4. \]

Проверка: при \(d=4\) получаются точки

\[ C=(-2,0),\quad A=(1,\sqrt3),\quad B=(1,-\sqrt3). \]

Тогда

\[ \cos\angle ACB= \frac{(3,\sqrt3)\cdot(3,-\sqrt3)} {(2\sqrt3)(2\sqrt3)} =\frac{6}{12}=\frac12, \]

следовательно, \(\angle ACB=60^\circ\), как и требуется.

\[ \boxed{4} \]