Реши задание на изображении
Краткие ответы
1. Сократите дробь:
а) \(\displaystyle \frac{2a}{7b}\);
б) \(\displaystyle \frac{3}{x+4}\);
в) \(\displaystyle \frac{y-z}{2}\).
2. Представьте в виде дроби:
а) \(\displaystyle \frac{x^2-3}{3x^2}\);
б) \(\displaystyle \frac{2b}{4a^2-b^2}\);
в) \(\displaystyle \frac{2}{c(c+3)}\).
Нижний блок:
а) \(\displaystyle \frac{3}{y^2}\);
б) \(\displaystyle \frac{7a}{2c}\);
в) \(\displaystyle \frac{2a-1}{3(a-3)}\);
г) \(\displaystyle \frac pq\).
3. \(\boxed{24{,}8016}\).
4. \(\displaystyle \boxed{-\frac{6}{x(x+3)}}\).
Решение
1. Сокращение дробей
а) Выносим общие множители:
\[ \frac{14a^4b}{49a^3b^2} = \frac{2\cdot 7\cdot a^3\cdot a\cdot b} {7\cdot 7\cdot a^3\cdot b^2} = \frac{2a}{7b}. \]
б)
\[ \frac{3x}{x^2+4x} = \frac{3x}{x(x+4)} = \frac{3}{x+4}. \]
в) Используем разность квадратов:
\[ y^2-z^2=(y-z)(y+z). \]
Тогда
\[ \frac{y^2-z^2}{2y+2z} = \frac{(y-z)(y+z)}{2(y+z)} = \frac{y-z}{2}. \]
2. Сложение и вычитание дробей
а) Общий знаменатель — \(3x^2\):
\[ \frac{3x-1}{x^2}+\frac{x-9}{3x} = \frac{3(3x-1)+x(x-9)}{3x^2}. \]
\[ 3(3x-1)+x(x-9) =9x-3+x^2-9x=x^2-3. \]
Значит,
\[ \boxed{\frac{x^2-3}{3x^2}}. \]
б)
\[ \frac1{2a-b}-\frac1{2a+b} = \frac{(2a+b)-(2a-b)} {(2a-b)(2a+b)}. \]
\[ \frac{2b}{4a^2-b^2}. \]
в) Сначала разложим знаменатель:
\[ c^2+3c=c(c+3). \]
\[ \frac5{c+3}-\frac{5c-2}{c(c+3)} = \frac{5c-(5c-2)}{c(c+3)} = \frac2{c(c+3)}. \]
Нижний блок
а)
\[ \frac{42x^5}{y^4}\cdot\frac{y^2}{14x^5} = \frac{42}{14}\cdot\frac{y^2}{y^4} = \frac3{y^2}. \]
б) Двоеточие означает деление:
\[ \frac{63a^3b}{c}:(18a^2b) = \frac{63a^3b}{c}\cdot\frac1{18a^2b} = \frac{7a}{2c}. \]
в) Деление заменяем умножением на обратную дробь:
\[ \frac{4a^2-1}{a^2-9}:\frac{6a+3}{a+3} = \frac{4a^2-1}{a^2-9}\cdot\frac{a+3}{6a+3}. \]
Разложим на множители:
\[ 4a^2-1=(2a-1)(2a+1), \]
\[ a^2-9=(a-3)(a+3), \]
\[ 6a+3=3(2a+1). \]
Тогда
\[ \frac{(2a-1)(2a+1)}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a+3}{3(2a+1)} = \frac{2a-1}{3(a-3)}. \]
г)
\[ \frac{p-q}{p}\left(\frac{p}{p-q}+\frac pq\right). \]
Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
\[ \frac{p}{p-q}+\frac pq = \frac{pq+p(p-q)}{q(p-q)} = \frac{p^2}{q(p-q)}. \]
Теперь
\[ \frac{p-q}{p}\cdot\frac{p^2}{q(p-q)} = \frac pq. \]
3. Подстановка значений
\[ \frac{a^5-b}{a}-a = a^4-\frac ba-a. \]
Подставим \(a=0{,}2\), \(b=-5\):
\[ 0{,}2^4-\frac{-5}{0{,}2}-0{,}2 = 0{,}0016+25-0{,}2 = 24{,}8016. \]
4. Упрощение выражения
\[ \frac3{x-3}-\frac{x+15}{x^2-9}-\frac2x. \]
Разложим:
\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]
Общий знаменатель:
\[ x(x-3)(x+3). \]
\[ \frac{3x(x+3)-x(x+15)-2(x^2-9)} {x(x-3)(x+3)}. \]
Раскроем скобки:
\[ 3x^2+9x-x^2-15x-2x^2+18 = -6x+18 = -6(x-3). \]
Следовательно,
\[ \frac{-6(x-3)}{x(x-3)(x+3)} = -\frac6{x(x+3)}. \]
Проверка, например при \(x=1\):
\[ \text{исходное выражение}=-1{,}5, \qquad -\frac6{1(1+3)}=-1{,}5. \]
Важно: нельзя сокращать выражения, которые могут быть равны нулю; исходные знаменатели должны быть ненулевыми.
