Номер 6

Координаты вектора показывают, на сколько клеток нужно сдвинуться от его начала к его концу:

• первая координата — горизонтальный сдвиг: вправо \(+\), влево \(-\);
• вторая — вертикальный: вверх \(+\), вниз \(-\).

Считай клетки от начала стрелки до её наконечника. Например, \(\vec a=(9;-4)\): от начала вектора нужно пройти 9 клеток вправо и 4 клетки вниз. А \(\vec c=(-5;5)\) означает 5 клеток влево и 5 вверх.

Важно: сначала всегда считай горизонтальное, затем вертикальное направление.

Главное: вектор считают не от начала координат, а от начала самой стрелки.

1. Найди стрелку и определи её направление: начало — конец без наконечника, конец — там, где наконечник.
2. От начала стрелки считай клетки до конца:
   • вправо — первая координата положительная, влево — отрицательная;
   • вверх — вторая координата положительная, вниз — отрицательная.
3. Считай промежутки между линиями сетки, а не сами линии. Например, 3 клетки вправо и 2 вниз дают вектор \((3;-2)\).

Если вектор начинается в точке \((x_1;y_1)\), а заканчивается в \((x_2;y_2)\), то его координаты: \[ (x_2-x_1;\ y_2-y_1). \] То есть из координат конца вычитаем координаты начала.

Для суммы векторов складываем соответствующие координаты, а для разности вычитаем: \[ (a_1;a_2)-(b_1;b_2)=(a_1-b_1;\ a_2-b_2). \] Например, минус перед вектором меняет оба его знака: \(-(7;2)=(-7;-2)\).

Если у вектора \(\vec a\) начало в точке \((6;0)\), а наконечник стрелки — в точке \((-4;4)\), координаты вектора находим так: из координат конца вычитаем координаты начала: \[ \vec a=\bigl(-4-6;\ 4-0\bigr)=(-10;4). \] То есть от начала до стрелки нужно пройти 10 клеток влево и 4 вверх. Значит, прежнее значение \(\vec a=(9;-4)\) было неверным.

Если остальные векторы такие же, как мы считали выше, \(\vec b=(7;2)\) и \(\vec c=(-5;5)\), то: \[ \vec a-\vec b+\vec c =(-10;4)-(7;2)+(-5;5) =(-22;7). \] Длина этого вектора: \[ \sqrt{(-22)^2+7^2}=\sqrt{533}. \]

Теперь найдём координаты всех векторов по правилу:

\[ \text{координаты вектора}=\text{координаты конца}-\text{координаты начала}. \]

Вектор \(\vec a\)

Начало без стрелки: \((6;0)\), конец со стрелкой: \((-4;4)\):

\[ \vec a=(-4-6;\ 4-0)=(-10;4). \]

Вектор \(\vec b\)

Начало: \((-4;2)\), конец: \((4;4)\):

\[ \vec b=(4-(-4);\ 4-2)=(8;2). \]

Вектор \(\vec c\)

Начало: \((1;-4)\), конец: \((-5;1)\):

\[ \vec c=(-5-1;\ 1-(-4))=(-6;5). \]

Теперь вычислим выражение из задания:

\[ \vec a-\vec b+\vec c =(-10;4)-(8;2)+(-6;5). \]

Вычитаем координаты \(\vec b\):

\[ (-10;4)-(8;2)=(-18;2). \]

Прибавляем \(\vec c\):

\[ (-18;2)+(-6;5)=(-24;7). \]

Длина полученного вектора:

\[ \left|\vec a-\vec b+\vec c\right| =\sqrt{(-24)^2+7^2} =\sqrt{576+49} =\sqrt{625}=25. \]

\[ \boxed{25} \]

В предыдущем вычислении координаты \(\vec b\) и \(\vec c\) были указаны неверно, поэтому правильный ответ теперь — \(25\).

Пришли фото задания № 7 или перепиши его условие — решу по шагам и объясню, как решать такие задачи.

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:

\[ \vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\alpha, \]

где \(\alpha\) — угол между векторами.

Подставим данные:

\[ |\vec a|=3\sqrt5,\qquad |\vec b|=4\sqrt{10},\qquad \alpha=45^\circ. \]

\[ \vec a\cdot\vec b =3\sqrt5\cdot4\sqrt{10}\cdot\cos45^\circ. \]

Так как

\[ \cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}, \]

получаем:

\[ \vec a\cdot\vec b =12\sqrt{50}\cdot\frac{\sqrt2}{2} =6\sqrt{100} =6\cdot10=60. \]

\[ \boxed{\vec a\cdot\vec b=60} \]

Ответ: \(60\).