Реши

Пусть в алфавите \(n\) букв. Любое слово-палиндром из 5 букв имеет вид \(XYZYX\).

У Ани: сочетание АБ может стоять на краях слова или ближе к середине. Для каждого из двух вариантов есть по \(2n\) слов, но 2 слова посчитаны дважды. Значит, у Ани \[ 2n+2n-2=4n-2 \] слов.

У Бори: сочетание АБА может стоять на местах 1–3 или 3–5 — это одно и то же слово АБАБА. Если оно стоит на местах 2–4, получается слово \(X\text{АБА}X\), где \(X\) — любая буква алфавита. Всего у Бори \(n+1\) слово.

По условию: \[ (4n-2)-(n+1)=57, \] \[ 3n-3=57,\qquad n=20. \]

Тогда Боря записал \(n+1=20+1=\boxed{21}\) слово.