Реши задание на изображении

6.22

Выпуклые многоугольники: б, г, д, е и внешний пятиугольник на рисунке к. В рисунке д это прямоугольник и два квадрата; в е — большой треугольник и маленькие треугольники.

Невыпуклые: в, з, а также внешняя звездчатая фигура и, если рассматривать её как единое целое. При этом отдельные треугольники на рисунке и выпуклые.

а — окружность, не многоугольник; ж — незамкнутая линия, тоже не многоугольник. Пересекающиеся линии внутри к — диагонали внешнего выпуклого пятиугольника.

6.23

У многоугольника одинаковое число вершин, сторон и углов.

6.24

Диагонали, проведённые из одной вершины выпуклого \(n\)-угольника, делят его на \(n-2\) треугольника:

• а) четырёхугольник: \(4-2=\mathbf2\);
• б) пятиугольник: \(5-2=\mathbf3\);
• в) шестиугольник: \(6-2=\mathbf4\);
• г) восьмиугольник: \(8-2=\mathbf6\);
• д) \(n\)-угольник: \(\mathbf{n-2}\).

6.25

Нет. Например, у треугольника нет диагоналей: диагональ соединяет две несоседние вершины, а у треугольника таких вершин нет.

6.26

Число диагоналей выпуклого \(n\)-угольника:

\[ \frac{n(n-3)}{2}. \]

• а) четырёхугольник: \(\frac{4\cdot1}{2}=\mathbf2\);
• б) пятиугольник: \(\frac{5\cdot2}{2}=\mathbf5\);
• в) шестиугольник: \(\frac{6\cdot3}{2}=\mathbf9\);
• г) \(n\)-угольник: \(\mathbf{\frac{n(n-3)}2}\).

6.27

Каждая диагональ учитывается дважды, если считать её сначала от одной вершины, а потом от другой. Поэтому общее число делят на \(2\). Кроме того, \(n(n-3)\) всегда чётно: если \(n\) нечётное, то \(n-3\) чётное, а если \(n\) чётное — чётно \(n\).

6.28

Да. Для пятиугольника число диагоналей равно числу сторон:

\[ \frac{n(n-3)}2=n \quad\Rightarrow\quad n=5. \]

6.29

Да. У семиугольника число диагоналей вдвое больше числа сторон:

\[ \frac{n(n-3)}2=2n \quad\Rightarrow\quad n=7. \]

6.30

Если провести все диагонали, то четырёхугольник разделится на 4 треугольные области. В пятиугольнике получится 10 треугольных областей и один центральный пятиугольник — всего 11 частей.

Если же требуется просто разделить многоугольник на треугольники без пересекающихся диагоналей, то четырёхугольник можно разделить на 2, а пятиугольник — на 3 треугольника.