12 вариант
Краткий ответ
Для 12 варианта оптимальный план перевозок:
\[ X= \begin{pmatrix} 250&0&0&0&150\\ 0&200&170&0&0\\ 0&0&120&260&0\\ 0&0&0&0&100 \end{pmatrix}, \]
где последняя строка — фиктивный поставщик.
Минимальные затраты:
\[ \boxed{S_{\min}=6630}. \]
1. Исходные данные
Запасы:
\[ a_1=400,\qquad a_2=370,\qquad a_3=380. \]
Спрос:
\[ b_1=250,\ b_2=200,\ b_3=290,\ b_4=260,\ b_5=250. \]
Проверим баланс:
\[ 400+370+380=1150, \]
\[ 250+200+290+260+250=1250. \]
Спрос больше запасов на \(100\), поэтому добавляем фиктивного поставщика \(A_4\) с запасом \(100\) и нулевыми тарифами.
Матрица тарифов:
\[ C= \begin{pmatrix} 2&4&5&3&3\\ 12&8&6&14&11\\ 10&15&6&9&18\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}. \]
2. Полученный план
| \(B_1\) | \(B_2\) | \(B_3\) | \(B_4\) | \(B_5\) | Запасы | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(A_1\) | 250 | 0 | 0 | 0 | 150 | 400 |
| \(A_2\) | 0 | 200 | 170 | 0 | 0 | 370 |
| \(A_3\) | 0 | 0 | 120 | 260 | 0 | 380 |
| \(A_4\) | 0 | 0 | 0 | 0 | 100 | 100 |
| Потребности | 250 | 200 | 290 | 260 | 250 |
Проверка по столбцам:
\[ 250=250, \]
\[ 200=200, \]
\[ 170+120=290, \]
\[ 260=260, \]
\[ 150+100=250. \]
3. Проверка оптимальности методом потенциалов
Для занятых клеток можно взять потенциалы:
\[ u_1=0,\quad u_2=6,\quad u_3=6,\quad u_4=-3, \]
\[ v_1=2,\quad v_2=2,\quad v_3=0,\quad v_4=3,\quad v_5=3. \]
Для каждой свободной клетки вычисляется:
\[ \Delta_{ij}=c_{ij}-u_i-v_j. \]
Получаются неотрицательные значения, например:
\[ \Delta_{14}=3-0-3=0, \]
\[ \Delta_{13}=5-0-0=5, \]
\[ \Delta_{24}=14-6-3=5, \]
\[ \Delta_{35}=18-6-3=9. \]
Все оценки удовлетворяют условию
\[ \Delta_{ij}\ge 0, \]
значит, план является оптимальным.
4. Стоимость перевозок
\[ \begin{aligned} S={}&250\cdot2+150\cdot3+200\cdot8\\ &+170\cdot6+120\cdot6+260\cdot9. \end{aligned} \]
\[ S=500+450+1600+1020+720+2340=\boxed{6630}. \]
