Номер 124

Краткий ответ:
\[ KF=8\text{ см},\qquad \angle DEK=86^\circ,\qquad \angle EFD=90^\circ. \]

Решение:

1. Так как \(EF\) — биссектриса угла \(DEK\), то \[ \angle DEF=\angle FEK=43^\circ. \] Следовательно, \[ \angle DEK=43^\circ+43^\circ=86^\circ. \]

2. В равнобедренном треугольнике \(DEK\) боковые стороны равны: \[ DE=EK. \] Биссектриса угла при вершине \(E\) одновременно является медианой основания \(DK\). Поэтому \[ DF=FK=\frac{DK}{2}=\frac{16}{2}=8\text{ см}. \]

3. Углы при основании равны: \[ \angle EKD=\angle EDK=\frac{180^\circ-86^\circ}{2}=47^\circ. \] В треугольнике \(EFK\): \[ \angle EFK=180^\circ-43^\circ-47^\circ=90^\circ. \] Так как точки \(D,F,K\) лежат на одной прямой, углы \(\angle EFK\) и \(\angle EFD\) смежные. Значит, \[ \angle EFD=90^\circ. \]

Проверка: \(8+8=16\) см; сумма углов треугольника \(DEK\): \(43^\circ+43^\circ+47^\circ+47^\circ=180^\circ\).