Ответы по порядку: Тихом, Джеймс Кук, три, Австралии, Зеландии.
Получается: «…существует ли в Тихом океане Южная земля, дал прославленный английский мореплаватель Джеймс Кук. Он совершил три продолжительные экспедиции… впервые открыл и поместил на карту восточное побережье Австралии… обследовал Северный и Южный острова Новой Зеландии…»
Почему так: Джеймс Кук руководил тремя кругосветными экспедициями. Во время исследований Тихого океана он нанёс на карту восточное побережье Австралии и подробно обследовал Новую Зеландию.
Проверка: все вставки подходят и по смыслу, и грамматически: «в Тихом океане», «побережье Австралии», «острова Новой Зеландии».
