Реши задание на изображении
Краткий ответ
\[ \overrightarrow{MA}=\frac57\vec m+\vec n,\quad \overrightarrow{AB}=-\frac57\vec m-\frac12\vec n,\quad \overrightarrow{MP}=\vec m+\vec n,\quad \overrightarrow{KA}=-\frac27\vec m+\vec n. \]
а) \(\overrightarrow{AN}\); б) \(\overrightarrow{AD}\); в) \(\overrightarrow{AK}\); г) \(6\vec a+8\vec b\); д) \(-12\vec p+57{,}2\vec q\).
Большое основание — \(10\) см.
\(\vec c=(9;-5)\).
Решение
1. Параллелограмм
Пусть \(\vec m=\overrightarrow{MK}\), \(\vec n=\overrightarrow{KP}\). Тогда \(\overrightarrow{KM}=-\vec m\). В параллелограмме противоположные стороны равны как векторы, поэтому \(\overrightarrow{MN}=\vec n\), а значит, \[ \overrightarrow{PN}=-\vec m. \]
Так как \(PA:AN=2:5\), отрезок \(PN\) разделён в отношении \(2:5\), поэтому \[ \overrightarrow{PA}=\frac27\overrightarrow{PN}=-\frac27\vec m, \qquad \overrightarrow{KA}=\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{PA} =\vec n-\frac27\vec m. \]
Точка \(B\) — середина \(MN\), значит, \(\overrightarrow{MB}=\frac12\vec n\). Теперь складываем векторы по пути между точками: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{MA}&=\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA} =\frac57\vec m+\vec n,\\ \overrightarrow{AB}&=-\frac57\vec m-\frac12\vec n,\\ \overrightarrow{MP}&=\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KP} =\vec m+\vec n. \end{aligned} \]
2. Упрощение выражений
В первых трёх пунктах используем правило сложения векторов: конец одного вектора соединяется с началом следующего.
а) \[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PN} =\overrightarrow{AN}. \]
б) \[ (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})+\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD} =\overrightarrow{AD}. \]
в) \[ \begin{aligned} (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{MC}) +(\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{KD}) &=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM} +\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DK}\\ &=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MK} =\overrightarrow{AK}. \end{aligned} \]
г) \[ 6(\vec a+\vec b)+2\vec b=6\vec a+8\vec b. \]
д) \[ \begin{aligned} 2(9\vec q+2\vec p)-8(2\vec p-4{,}9\vec q) &=18\vec q+4\vec p-16\vec p+39{,}2\vec q\\ &=-12\vec p+57{,}2\vec q. \end{aligned} \]
3. Трапеция
Обозначим большее и меньшее основания через \(b\) и \(a\). Средняя линия равна полусумме оснований: \[ \frac{a+b}{2}=8 \quad\Rightarrow\quad a+b=16. \]
В равнобедренной трапеции меньший отрезок, на который высота делит большее основание, равен половине разности оснований: \[ \frac{b-a}{2}=2 \quad\Rightarrow\quad b-a=4. \] Складываем уравнения: \(2b=20\), значит, большее основание \(b=10\) см.
4. Координаты вектора
Вычитаем координаты покомпонентно: \[ \vec c=2\vec a-\frac12\vec b =2(3;-2)-\frac12(-6;2) =(6;-4)-(-3;1) =(9;-5). \] Проверка: \(9=6-(-3)\), \(-5=-4-1\).
Обсуждение
2 сообщенияНапиши понятней
Конечно. Объясню проще — по шагам.
1. Выразим векторы через \(\vec m\) и \(\vec n\)
Дано:
\[ \vec m=\overrightarrow{MK},\qquad \vec n=\overrightarrow{KP}. \]
Так как \(MKPN\) — параллелограмм:
\[ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{KP}=\vec n. \]
Точка \(A\) делит \(PN\) в отношении \(2:5\). Значит, весь отрезок \(PN\) состоит из \(7\) частей, и
\[ \overrightarrow{PA}=\frac27\overrightarrow{PN}. \]
Но \(\overrightarrow{PN}=-\vec m\), поэтому
\[ \overrightarrow{PA}=-\frac27\vec m. \]
Теперь:
\[ \overrightarrow{KA} =\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{PA} =\vec n-\frac27\vec m. \]
Получаем:
\[ \boxed{\overrightarrow{KA}=-\frac27\vec m+\vec n} \]
\[ \overrightarrow{MA} =\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA} =\vec m-\frac27\vec m+\vec n =\boxed{\frac57\vec m+\vec n}. \]
Точка \(B\) — середина \(MN\), поэтому
\[ \overrightarrow{MB}=\frac12\vec n. \]
Тогда
\[ \overrightarrow{AB} =\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB} =-\left(\frac57\vec m+\vec n\right)+\frac12\vec n, \]
\[ \boxed{\overrightarrow{AB}=-\frac57\vec m-\frac12\vec n}. \]
И ещё:
\[ \overrightarrow{MP} =\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KP} =\boxed{\vec m+\vec n}. \]
2. Упростим выражения
Главное правило:
\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AC}. \]
То есть если конец одного вектора совпадает с началом другого, их можно объединить.
а)
\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PN} \]
Идём по точкам:
\[ A\to B\to C\to M\to P\to N. \]
Значит:
\[ \boxed{\overrightarrow{AN}}. \]
б)
\[ (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})+\overrightarrow{BC} \]
Переставим слагаемые:
\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}. \]
Путь:
\[ A\to B\to C\to D. \]
Ответ:
\[ \boxed{\overrightarrow{AD}}. \]
в)
\[ (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{MC}) +(\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{KD}) \]
Минус перед вектором меняет его направление:
\[ -\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CM}, \qquad -\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{DK}. \]
Тогда:
\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DK}. \]
Путь:
\[ A\to B\to C\to M\to D\to K. \]
Ответ:
\[ \boxed{\overrightarrow{AK}}. \]
г)
\[ 6(\vec a+\vec b)+2\vec b \]
Раскрываем скобки:
\[ 6\vec a+6\vec b+2\vec b. \]
Складываем похожие слагаемые:
\[ \boxed{6\vec a+8\vec b}. \]
д)
\[ 2(9\vec q+2\vec p)-8(2\vec p-4{,}9\vec q) \]
Раскрываем скобки:
\[ 18\vec q+4\vec p-16\vec p+39{,}2\vec q. \]
Собираем подобные векторы:
\[ 4\vec p-16\vec p=-12\vec p, \]
\[ 18\vec q+39{,}2\vec q=57{,}2\vec q. \]
Ответ:
\[ \boxed{-12\vec p+57{,}2\vec q}. \]
3. Найдём большее основание трапеции
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:
\[ \frac{a+b}{2}=8. \]
Значит:
\[ a+b=16. \]
По рисунку разность оснований равна \(4\):
\[ b-a=4. \]
Складываем два равенства:
\[ a+b+b-a=16+4, \]
\[ 2b=20, \]
\[ b=10. \]
Ответ:
\[ \boxed{10\text{ см}}. \]
4. Найдём координаты вектора
Дано:
\[ \vec a=(3;-2),\qquad \vec b=(-6;2). \]
Нужно вычислить:
\[ \vec c=2\vec a-\frac12\vec b. \]
Сначала:
\[ 2\vec a=(6;-4), \]
\[ \frac12\vec b=(-3;1). \]
Теперь вычитаем:
\[ \vec c=(6;-4)-(-3;1). \]
Координаты вычитаются отдельно:
\[ \vec c=(6+3;-4-1)=(9;-5). \]
Ответ:
\[ \boxed{\vec c=(9;-5)}. \]
