сделай задания, и объясни их решения
Краткие ответы
- \(f'(x_0)=2\)
- \(4\) точки
- \(8\) точек
- \(5\) точек экстремума
- \(x=1\)
- \(x=-5\)
- \(2\) точки
- \(3\) точки
- Нижняя часть графика закрыта, поэтому точный ответ определить нельзя.
Основные правила
- Если дан график \(y=f(x)\), то:
- функция возрастает \(\Rightarrow f'(x)>0\);
- функция убывает \(\Rightarrow f'(x)<0\).
- Если дан график \(y=f'(x)\), то:
- график выше оси \(Ox\) \(\Rightarrow f\) возрастает;
- график ниже оси \(Ox\) \(\Rightarrow f\) убывает.
- Экстремум возникает, когда производная меняет знак:
- с «−» на «+» — минимум;
- с «+» на «−» — максимум.
1
Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной:
\[ f'(x_0)=k=\frac{\Delta y}{\Delta x}. \]
По клеткам при движении вправо на \(1\) касательная поднимается на \(2\):
\[ k=\frac{2}{1}=2. \]
Ответ: \(2\).
2
Производная положительна там, где график \(f(x)\) идёт вверх. Это происходит в точках
\[ x_2,\ x_4,\ x_5,\ x_7. \]
Всего \(4\) точки.
Ответ: \(4\).
3
Производная отрицательна там, где график \(f(x)\) идёт вниз. По рисунку это точки
\[ x_2,\ x_4,\ x_5,\ x_6,\ x_7,\ x_9,\ x_{11},\ x_{12}. \]
Их количество:
\[ 8. \]
Ответ: \(8\).
4
Точки экстремума \(f(x)\) соответствуют пересечениям графика \(f'(x)\) с осью \(Ox\), при которых производная меняет знак.
На отрезке \([-10;10]\) таких пересечений \(5\):
- три перехода «− → +» — минимумы;
- два перехода «+ → −» — максимумы.
\[ 3+2=5. \]
Ответ: \(5\).
5
На всём отрезке \([1;7]\) график производной находится выше оси \(Ox\):
\[ f'(x)>0. \]
Значит, \(f(x)\) возрастает. Возрастающая функция принимает наименьшее значение в левом конце отрезка.
Ответ: \(x=1\).
6
На отрезке \([-5;-1]\) график производной расположен ниже оси \(Ox\):
\[ f'(x)<0. \]
Следовательно, \(f(x)\) убывает. Убывающая функция принимает наибольшее значение в левом конце отрезка.
Ответ: \(x=-5\).
7
Функция возрастает в тех точках, где
\[ f'(x)>0, \]
то есть график производной находится выше оси \(Ox\). Это выполняется в точках \(x_1\) и \(x_2\).
Ответ: \(2\).
8
Функция убывает там, где
\[ f'(x)<0. \]
По графику производная отрицательна в точках
\[ x_5,\ x_6,\ x_8. \]
Всего \(3\) точки.
Ответ: \(3\).
Для №9 нужно считать переходы графика \(f'(x)\) снизу вверх на отрезке \([-13;1]\), но часть графика закрыта чёрной панелью. Можешь прислать №9 целиком без чёрной панели?
