реши
Краткий ответ
\[ \boxed{\frac{2}{3a}}, \qquad a\ne -2,0,2 \]
\[ \boxed{\frac{7x}{2}}, \qquad x\ne -2,2 \]
\[ \boxed{\frac{5(a-3)}{a}}, \qquad a\ne -3,0,6 \]
Решение
1)
\[ \left(\frac{a-2}{a+2}-\frac{a+2}{a-2}\right): \frac{12a^2}{4-a^2} \]
Приведём разность к общему знаменателю:
\[ \frac{(a-2)^2-(a+2)^2}{(a+2)(a-2)} = \frac{-8a}{a^2-4}. \]
Деление заменяем умножением на обратную дробь:
\[ \frac{-8a}{a^2-4}\cdot\frac{4-a^2}{12a^2}. \]
Так как \(4-a^2=-(a^2-4)\), получаем:
\[ \frac{-8a}{a^2-4}\cdot \frac{-(a^2-4)}{12a^2} = \frac{8a}{12a^2} = \boxed{\frac{2}{3a}}. \]
2)
\[ \left(\frac{8x}{x-2}+2x\right): \frac{4x+8}{7x-14} \]
Сначала упростим сумму:
\[ \frac{8x}{x-2}+2x = \frac{8x+2x(x-2)}{x-2} = \frac{2x(x+2)}{x-2}. \]
Разложим вторую дробь:
\[ \frac{4x+8}{7x-14} = \frac{4(x+2)}{7(x-2)}. \]
Теперь делим:
\[ \frac{2x(x+2)}{x-2}\cdot \frac{7(x-2)}{4(x+2)} = \frac{14x}{4} = \boxed{\frac{7x}{2}}. \]
3)
\[ \frac{5a}{a+3} + \frac{a-6}{3a+9}\cdot \frac{135}{6a-a^2} \]
Разложим знаменатели:
\[ 3a+9=3(a+3), \qquad 6a-a^2=a(6-a). \]
Тогда произведение:
\[ \frac{a-6}{3(a+3)} \cdot \frac{135}{a(6-a)}. \]
Поскольку \(a-6=-(6-a)\), сокращаем:
\[ \frac{a-6}{3(a+3)} \cdot \frac{135}{a(6-a)} = -\frac{45}{a(a+3)}. \]
Приведём к общему знаменателю:
\[ \frac{5a}{a+3} - \frac{45}{a(a+3)} = \frac{5a^2-45}{a(a+3)}. \]
Разложим числитель:
\[ \frac{5(a^2-9)}{a(a+3)} = \frac{5(a-3)(a+3)}{a(a+3)} = \boxed{\frac{5(a-3)}{a}}. \]
Ограничения получены из исходных знаменателей: нельзя допускать нулевые знаменатели и деление на ноль.
