реши
Ответ:
\(\displaystyle \frac{2}{3a}\), где \(a\ne -2,\;0,\;2\);
\(\displaystyle \frac{7x}{2}\), где \(x\ne -2,\;2\);
\(\displaystyle \frac{5(a-3)}{a}\), где \(a\ne -3,\;0,\;6\).
1)
\[ \left(\frac{a-2}{a+2}-\frac{a+2}{a-2}\right):\frac{12a^2}{4-a^2} \]
Сначала вычтем дроби в скобках:
\[ \frac{(a-2)^2-(a+2)^2}{(a+2)(a-2)} = \frac{a^2-4a+4-(a^2+4a+4)}{a^2-4} = \frac{-8a}{a^2-4}. \]
Деление на дробь заменяем умножением на обратную:
\[ \frac{-8a}{a^2-4}\cdot \frac{4-a^2}{12a^2}. \]
Так как
\[ 4-a^2=-(a^2-4), \]
получаем:
\[ \frac{-8a}{a^2-4}\cdot \frac{-(a^2-4)}{12a^2} = \frac{8a}{12a^2} = \frac{2}{3a}. \]
Ограничения: \(a\ne -2,2\), а также \(a\ne0\), потому что нельзя делить на нулевую дробь.
2)
\[ \left(\frac{8x}{x-2}+2x\right):\frac{4x+8}{7x-14} \]
Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
\[ \frac{8x}{x-2}+2x= \frac{8x+2x(x-2)}{x-2}. \]
Раскрываем скобки:
\[ \frac{8x+2x^2-4x}{x-2} = \frac{2x^2+4x}{x-2} = \frac{2x(x+2)}{x-2}. \]
Во второй дроби вынесем множители:
\[ \frac{4x+8}{7x-14} = \frac{4(x+2)}{7(x-2)}. \]
Теперь делим дроби:
\[ \frac{2x(x+2)}{x-2}:\frac{4(x+2)}{7(x-2)} = \frac{2x(x+2)}{x-2}\cdot \frac{7(x-2)}{4(x+2)}. \]
Сокращаем одинаковые множители:
\[ \frac{14x}{4}=\frac{7x}{2}. \]
Ограничения: \(x\ne2\) — знаменатели не должны быть нулём; \(x\ne-2\) — нельзя делить на дробь, равную нулю.
3)
\[ \frac{5a}{a+3}+\frac{a-6}{3a+9}\cdot\frac{135}{6a-a^2} \]
Разложим знаменатели на множители:
\[ 3a+9=3(a+3), \qquad 6a-a^2=a(6-a). \]
Тогда произведение дробей:
\[ \frac{a-6}{3(a+3)}\cdot\frac{135}{a(6-a)}. \]
Заметим:
\[ a-6=-(6-a). \]
Поэтому
\[ \frac{a-6}{3(a+3)}\cdot\frac{135}{a(6-a)} = -\frac{45}{a(a+3)}. \]
Первую дробь приведём к этому же знаменателю:
\[ \frac{5a}{a+3}=\frac{5a^2}{a(a+3)}. \]
Складываем:
\[ \frac{5a^2}{a(a+3)}-\frac{45}{a(a+3)} = \frac{5a^2-45}{a(a+3)}. \]
Выносим \(5\) и раскладываем разность квадратов:
\[ \frac{5(a^2-9)}{a(a+3)} = \frac{5(a-3)(a+3)}{a(a+3)} = \frac{5(a-3)}{a}. \]
Ограничения: \(a\ne-3,\;0,\;6\). Даже после сокращения эти значения остаются запрещёнными, потому что в исходном выражении были нулевые знаменатели.
