пореши эти задани и напиши так чтобы можно было написать в тетрад
Краткий ответ
2а) \(\displaystyle \sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt{10}}{10}\), \(\displaystyle \cos\frac\alpha2=-\frac{3\sqrt{10}}{10}\), \(\displaystyle \tg\frac\alpha2=-\frac13\), \(\displaystyle \ctg\frac\alpha2=-3\).
2б) \(\displaystyle \sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt{10}}{10}\), \(\displaystyle \cos\frac\alpha2=\frac{3\sqrt{10}}{10}\), \(\displaystyle \tg\frac\alpha2=\frac13\), \(\displaystyle \ctg\frac\alpha2=3\).
3а) \(\displaystyle \tg\frac\alpha2=-\frac12\).
3б) \(\displaystyle \sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt5}{5}\), \(\displaystyle \cos\frac\alpha2=-\frac{2\sqrt5}{5}\).
3в) \(\displaystyle \cos\frac\alpha2=-\frac{7\sqrt2}{10}\), \(\displaystyle \sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt2}{10}\).
3г) \(\displaystyle \sin\frac\alpha2=\frac{4\sqrt{17}}{17}\), \(\displaystyle \cos\frac\alpha2=-\frac{\sqrt{17}}{17}\).
Решение
Используем формулы:
\[ \sin\frac\alpha2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}, \qquad \cos\frac\alpha2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}. \]
Знак выбираем по четверти, в которой находится угол \(\frac\alpha2\).
2а)
\[ \cos\alpha=0{,}8=\frac45,\qquad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi. \]
Тогда
\[ \frac{3\pi}{4}<\frac\alpha2<\pi. \]
Угол \(\frac\alpha2\) находится во II четверти, поэтому \(\sin\frac\alpha2>0\), а \(\cos\frac\alpha2<0\).
\[ \sin\frac\alpha2= \sqrt{\frac{1-\frac45}{2}} =\sqrt{\frac1{10}} =\frac{\sqrt{10}}{10}. \]
\[ \cos\frac\alpha2= -\sqrt{\frac{1+\frac45}{2}} =-\sqrt{\frac9{10}} =-\frac{3\sqrt{10}}{10}. \]
Так как \(\alpha\) находится в IV четверти,
\[ \sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha} =-\sqrt{1-\frac{16}{25}} =-\frac35. \]
\[ \tg\frac\alpha2= \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} =\frac{-\frac35}{1+\frac45} =\frac{-\frac35}{\frac95} =-\frac13. \]
\[ \ctg\frac\alpha2=-3. \]
Ответ:
\[ \boxed{\sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt{10}}{10},\quad \cos\frac\alpha2=-\frac{3\sqrt{10}}{10},\quad \tg\frac\alpha2=-\frac13,\quad \ctg\frac\alpha2=-3.} \]
2б)
\[ \sin\alpha=0{,}6=\frac35,\qquad 0^\circ<\alpha<90^\circ. \]
Угол \(\alpha\) находится в I четверти, значит
\[ \cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha} =\sqrt{1-\frac9{25}} =\frac45. \]
Также \(\frac\alpha2\) находится в I четверти, поэтому оба значения положительны:
\[ \sin\frac\alpha2= \sqrt{\frac{1-\frac45}{2}} =\frac{\sqrt{10}}{10}. \]
\[ \cos\frac\alpha2= \sqrt{\frac{1+\frac45}{2}} =\frac{3\sqrt{10}}{10}. \]
\[ \tg\frac\alpha2= \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} =\frac{\frac35}{\frac95} =\frac13. \]
\[ \ctg\frac\alpha2=3. \]
Ответ:
\[ \boxed{\sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt{10}}{10},\quad \cos\frac\alpha2=\frac{3\sqrt{10}}{10},\quad \tg\frac\alpha2=\frac13,\quad \ctg\frac\alpha2=3.} \]
3а)
\[ \cos\alpha=0{,}6=\frac35,\qquad 180^\circ<\alpha<360^\circ. \]
Тогда
\[ 90^\circ<\frac\alpha2<180^\circ. \]
Значит, \(\frac\alpha2\) находится во II четверти, где тангенс отрицательный:
\[ \tg\frac\alpha2= -\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}} =-\sqrt{\frac{1-\frac35}{1+\frac35}}. \]
\[ \tg\frac\alpha2= -\sqrt{\frac{\frac25}{\frac85}} =-\sqrt{\frac14} =-\frac12. \]
Ответ:
\[ \boxed{\tg\frac\alpha2=-\frac12.} \]
3б)
\[ \sin\alpha=-\frac45,\qquad 270^\circ<\alpha<360^\circ. \]
\(\alpha\) находится в IV четверти, поэтому \(\cos\alpha>0\):
\[ \cos\alpha= \sqrt{1-\sin^2\alpha} =\sqrt{1-\frac{16}{25}} =\frac35. \]
\[ 135^\circ<\frac\alpha2<180^\circ. \]
Значит, \(\frac\alpha2\) находится во II четверти: синус положительный, косинус отрицательный.
\[ \sin\frac\alpha2= \sqrt{\frac{1-\frac35}{2}} =\sqrt{\frac15} =\frac{\sqrt5}{5}. \]
\[ \cos\frac\alpha2= -\sqrt{\frac{1+\frac35}{2}} =-\sqrt{\frac45} =-\frac{2\sqrt5}{5}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt5}{5},\quad \cos\frac\alpha2=-\frac{2\sqrt5}{5}.} \]
3в)
\[ \cos\alpha=\frac{24}{25},\qquad 270^\circ<\alpha<360^\circ. \]
Тогда \(\frac\alpha2\) находится во II четверти. Поэтому
\[ \cos\frac\alpha2<0,\qquad \sin\frac\alpha2>0. \]
\[ \cos\frac\alpha2= -\sqrt{\frac{1+\frac{24}{25}}{2}} =-\sqrt{\frac{49}{50}} =-\frac{7\sqrt2}{10}. \]
\[ \sin\frac\alpha2= \sqrt{\frac{1-\frac{24}{25}}{2}} =\sqrt{\frac1{50}} =\frac{\sqrt2}{10}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\cos\frac\alpha2=-\frac{7\sqrt2}{10},\quad \sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt2}{10}.} \]
3г)
\[ \sin\alpha=-\frac8{17},\qquad 180^\circ<\alpha<270^\circ. \]
Угол \(\alpha\) находится в III четверти, поэтому \(\cos\alpha<0\):
\[ \cos\alpha= -\sqrt{1-\sin^2\alpha} =-\sqrt{1-\frac{64}{289}} =-\frac{15}{17}. \]
Тогда
\[ 90^\circ<\frac\alpha2<135^\circ, \]
то есть \(\frac\alpha2\) находится во II четверти.
\[ \sin\frac\alpha2= \sqrt{\frac{1-\left(-\frac{15}{17}\right)}{2}} =\sqrt{\frac{16}{17}} =\frac{4\sqrt{17}}{17}. \]
\[ \cos\frac\alpha2= -\sqrt{\frac{1-\frac{15}{17}}{2}} =-\sqrt{\frac1{17}} =-\frac{\sqrt{17}}{17}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\sin\frac\alpha2=\frac{4\sqrt{17}}{17},\quad \cos\frac\alpha2=-\frac{\sqrt{17}}{17}.} \]
Проверка выполняется по формулам:
\[ \sin\alpha=2\sin\frac\alpha2\cos\frac\alpha2, \qquad \cos\alpha=\cos^2\frac\alpha2-\sin^2\frac\alpha2. \]
