Реши задание на изображении

Краткий ответ

а) Среди первых 500 натуральных чисел получилось 24 пары чисел-близнецов:

\[ \begin{aligned} &(3;5), (5;7), (11;13), (17;19), (29;31), (41;43),\\ &(59;61), (71;73), (101;103), (107;109), (137;139),\\ &(149;151), (179;181), (191;193), (197;199), (227;229),\\ &(239;241), (269;271), (281;283), (311;313),\\ &(347;349), (419;421), (431;433), (461;463). \end{aligned} \]

б)

\[ \begin{array}{c|c} n & (6n-1;\;6n+1)\\ \hline 87 &(521;\;523)\\ 135 &(809;\;811)\\ 165 &(989;\;991) \end{array} \]

в) Не являются парами чисел-близнецов:

\[ \boxed{(23;25), (35;37), (47;49), (53;55), (65;67),} \]

\[ \boxed{(77;79), (83;85), (89;91), (95;97).} \]

Всего таких пар — 9.

Объяснение

Любое простое число, большее 3, при делении на 6 даёт остаток 1 или 5. Поэтому числа-близнецы, кроме пары \((3;5)\), имеют вид:

\[ 6k-1 \quad \text{и} \quad 6k+1. \]

Для двузначных чисел:

\[ 10\le 6k-1,\qquad 6k+1\le 99, \]

откуда \(k=2,3,\ldots,16\). Проверяем получившиеся пары. Например:

\[ (23;25),\qquad 25=5^2, \]

значит, эта пара не является парой простых чисел-близнецов. Аналогично проверяются остальные пары:

\[ 25=5^2,\quad 35=5\cdot7,\quad 49=7^2,\quad 55=5\cdot11, \]

\[ 65=5\cdot13,\quad 77=7\cdot11,\quad 85=5\cdot17, \]

\[ 91=7\cdot13,\quad 95=5\cdot19. \]

В пункте б:

\[ 6\cdot165-1=989=23\cdot43, \]

поэтому числа \(989\) и \(991\) не образуют пару простых чисел-близнецов.