пореши эти задачи как в школе и напиши
Краткий ответ
2а) \(\cos\alpha=0{,}8,\ \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi\): \[ \sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt{10}}{10},\qquad \cos\frac\alpha2=-\frac{3\sqrt{10}}{10}, \] \[ \tg\frac\alpha2=-\frac13,\qquad \ctg\frac\alpha2=-3. \]
2б) \(\sin\alpha=0{,}6,\ 0^\circ<\alpha<90^\circ\): \[ \sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt{10}}{10},\qquad \cos\frac\alpha2=\frac{3\sqrt{10}}{10}, \] \[ \tg\frac\alpha2=\frac13,\qquad \ctg\frac\alpha2=3. \]
3а) \(\cos\alpha=0{,}6,\ 180^\circ<\alpha<360^\circ\): \[ \tg\frac\alpha2=-\frac12. \]
3б) \(\sin\alpha=-\frac45,\ 270^\circ<\alpha<360^\circ\): \[ \sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt5}{5},\qquad \cos\frac\alpha2=-\frac{2\sqrt5}{5}. \]
3в) \(\cos\alpha=\frac{24}{25},\ 270^\circ<\alpha<360^\circ\): \[ \cos\frac\alpha2=-\frac{7\sqrt2}{10},\qquad \sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt2}{10}. \]
3г) \(\sin\alpha=-\frac8{17},\ 180^\circ<\alpha<270^\circ\): \[ \sin\frac\alpha2=\frac{4\sqrt{17}}{17},\qquad \cos\frac\alpha2=-\frac{\sqrt{17}}{17}. \]
Формулы половинного угла
\[ \sin\frac\alpha2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}, \qquad \cos\frac\alpha2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}. \]
Знак выбирают по четверти, в которой лежит угол \(\frac\alpha2\).
Также: \[ \tg^2\frac\alpha2=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}. \]
2а)
\[ \cos\alpha=0{,}8=\frac45. \]
Так как \(\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi\), угол \(\alpha\) находится в IV четверти, поэтому
\[ \sin\alpha=-\frac35. \]
При этом
\[ \frac{3\pi}{4}<\frac\alpha2<\pi, \]
то есть \(\frac\alpha2\) находится во II четверти. Там \(\sin>0\), \(\cos<0\).
\[ \sin\frac\alpha2= \sqrt{\frac{1-\frac45}{2}} =\sqrt{\frac1{10}} =\frac{\sqrt{10}}{10}. \]
\[ \cos\frac\alpha2= -\sqrt{\frac{1+\frac45}{2}} =-\sqrt{\frac9{10}} =-\frac{3\sqrt{10}}{10}. \]
\[ \tg\frac\alpha2= \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{-\frac35}{1+\frac45} = \frac{-\frac35}{\frac95} =-\frac13. \]
\[ \ctg\frac\alpha2=-3. \]
2б)
\[ \sin\alpha=0{,}6=\frac35. \]
Угол \(\alpha\) в I четверти, значит
\[ \cos\alpha=\frac45. \]
Тогда и \(\frac\alpha2\) лежит в I четверти, поэтому оба значения положительные:
\[ \sin\frac\alpha2= \sqrt{\frac{1-\frac45}{2}} =\frac{\sqrt{10}}{10}. \]
\[ \cos\frac\alpha2= \sqrt{\frac{1+\frac45}{2}} =\frac{3\sqrt{10}}{10}. \]
\[ \tg\frac\alpha2= \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{\frac35}{\frac95} =\frac13. \]
\[ \ctg\frac\alpha2=3. \]
3а)
\[ \cos\alpha=0{,}6=\frac35. \]
Из условия следует, что \(\alpha\) находится в IV четверти, поэтому \(\frac\alpha2\) — во II четверти. Следовательно, \(\tg\frac\alpha2<0\).
\[ \tg^2\frac\alpha2= \frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{1-\frac35}{1+\frac35} = \frac{\frac25}{\frac85} =\frac14. \]
\[ \tg\frac\alpha2=-\sqrt{\frac14}=-\frac12. \]
3б)
\(\alpha\) лежит в IV четверти, поэтому
\[ \cos\alpha=\frac35. \]
Половина угла лежит во II четверти: \(\sin\frac\alpha2>0\), \(\cos\frac\alpha2<0\).
\[ \sin\frac\alpha2= \sqrt{\frac{1-\frac35}{2}} =\sqrt{\frac15} =\frac{\sqrt5}{5}. \]
\[ \cos\frac\alpha2= -\sqrt{\frac{1+\frac35}{2}} =-\sqrt{\frac45} =-\frac{2\sqrt5}{5}. \]
3в)
Угол \(\alpha\) в IV четверти, поэтому \(\frac\alpha2\) — во II четверти.
\[ \cos\frac\alpha2= -\sqrt{\frac{1+\frac{24}{25}}2} = -\sqrt{\frac{49}{50}} =-\frac{7\sqrt2}{10}. \]
\[ \sin\frac\alpha2= \sqrt{\frac{1-\frac{24}{25}}2} = \sqrt{\frac1{50}} =\frac{\sqrt2}{10}. \]
3г)
\(\alpha\) находится в III четверти, поэтому
\[ \cos\alpha=-\frac{15}{17}. \]
Половина угла находится во II четверти: синус положительный, косинус отрицательный.
\[ \sin\frac\alpha2= \sqrt{\frac{1-\left(-\frac{15}{17}\right)}2} = \sqrt{\frac{16}{17}} =\frac{4\sqrt{17}}{17}. \]
\[ \cos\frac\alpha2= -\sqrt{\frac{1-\frac{15}{17}}2} = -\sqrt{\frac1{17}} =-\frac{\sqrt{17}}{17}. \]
Проверка, например для пункта 3г:
\[ \left(\frac{4\sqrt{17}}{17}\right)^2+ \left(-\frac{\sqrt{17}}{17}\right)^2 = \frac{16}{17}+\frac1{17}=1. \]
Обсуждение
2 сообщенияРазбери, как выбирать знаки в формулах половинного угла
Главное правило
В формулах половинного угла знак выбирают не по четверти угла \(\alpha\), а по четверти угла
\[ \frac{\alpha}{2}. \]
Формулы дают квадрат значения:
\[ \sin\frac{\alpha}{2} =\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}, \]
\[ \cos\frac{\alpha}{2} =\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}. \]
Знак \(\pm\) определяем по знакам синуса и косинуса в четверти, где находится \(\frac{\alpha}{2}\).
1. Вспоминаем знаки в четвертях
| Четверть | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tg\) |
|---|---|---|---|
| I | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| II | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| III | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| IV | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
2. Как определить четверть \(\frac{\alpha}{2}\)
Если \(0<\alpha<2\pi\), делим границы промежутка на 2.
Если \(\alpha\) в I четверти
\[ 0<\alpha<\frac{\pi}{2}. \]
Тогда
\[ 0<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{4}. \]
Половина угла тоже в I четверти:
\[ \sin\frac{\alpha}{2}>0,\qquad \cos\frac{\alpha}{2}>0. \]
Оба знака — плюс.
Если \(\alpha\) во II четверти
\[ \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi. \]
Тогда
\[ \frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}. \]
Половина угла находится в I четверти:
\[ \sin\frac{\alpha}{2}>0,\qquad \cos\frac{\alpha}{2}>0. \]
Оба знака — плюс.
Если \(\alpha\) в III четверти
\[ \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}. \]
Тогда
\[ \frac{\pi}{2}<\frac{\alpha}{2}<\frac{3\pi}{4}. \]
Половина угла находится во II четверти:
\[ \sin\frac{\alpha}{2}>0,\qquad \cos\frac{\alpha}{2}<0. \]
Для синуса — плюс, для косинуса — минус.
Если \(\alpha\) в IV четверти
\[ \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi. \]
Тогда
\[ \frac{3\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\pi. \]
Половина угла находится во II четверти:
\[ \sin\frac{\alpha}{2}>0,\qquad \cos\frac{\alpha}{2}<0. \]
Для синуса — плюс, для косинуса — минус.
3. Удобная таблица
Для \(0<\alpha<2\pi\):
| Где находится \(\alpha\) | Где находится \(\frac{\alpha}{2}\) | \(\sin\frac{\alpha}{2}\) | \(\cos\frac{\alpha}{2}\) |
|---|---|---|---|
| I четверть | I четверть | \(+\) | \(+\) |
| II четверть | I четверть | \(+\) | \(+\) |
| III четверть | II четверть | \(+\) | \(-\) |
| IV четверть | II четверть | \(+\) | \(-\) |
Обрати внимание: при обычном рассмотрении \(0<\alpha<2\pi\) угол \(\frac{\alpha}{2}\) находится только в I или II четверти. Поэтому
\[ \sin\frac{\alpha}{2}>0 \]
всегда, а косинус меняет знак после \(\alpha=\pi\).
Пример 1
Пусть
\[ \cos\alpha=\frac45,\qquad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi. \]
Угол \(\alpha\) в IV четверти. Делим границы на 2:
\[ \frac{3\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\pi. \]
Значит, \(\frac{\alpha}{2}\) во II четверти:
\[ \sin\frac{\alpha}{2}>0,\qquad \cos\frac{\alpha}{2}<0. \]
Поэтому
\[ \sin\frac{\alpha}{2} =+\sqrt{\frac{1-\frac45}{2}} =\frac{\sqrt{10}}{10}, \]
\[ \cos\frac{\alpha}{2} =-\sqrt{\frac{1+\frac45}{2}} =-\frac{3\sqrt{10}}{10}. \]
Минус перед косинусом появился именно потому, что половина угла находится во II четверти.
Пример 2
Пусть
\[ \sin\alpha=\frac35,\qquad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}. \]
Угол \(\alpha\) в I четверти, значит
\[ 0<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{4}. \]
Половина угла тоже в I четверти, поэтому оба значения положительные:
\[ \cos\alpha=\frac45, \]
\[ \sin\frac{\alpha}{2} =+\sqrt{\frac{1-\frac45}{2}} =\frac{\sqrt{10}}{10}, \]
\[ \cos\frac{\alpha}{2} =+\sqrt{\frac{1+\frac45}{2}} =\frac{3\sqrt{10}}{10}. \]
Запомнить кратко:
- Найди, в какой четверти находится \(\alpha\).
- Подели границы этой четверти на 2.
- Определи четверть \(\frac{\alpha}{2}\).
- По ней выбери знак синуса и косинуса.
