пореши задачи точно также как на 2 фото
Краткий ответ
2а)
\[
\sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt{10}}{10},\quad
\cos\frac\alpha2=-\frac{3\sqrt{10}}{10},\quad
\tg\frac\alpha2=-\frac13,\quad
\ctg\frac\alpha2=-3.
\]
2б)
\[
\sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt{10}}{10},\quad
\cos\frac\alpha2=\frac{3\sqrt{10}}{10},\quad
\tg\frac\alpha2=\frac13,\quad
\ctg\frac\alpha2=3.
\]
3а)
\[
\tg\frac\alpha2=-\frac12.
\]
3б)
\[
\sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt5}{5},\qquad
\cos\frac\alpha2=-\frac{2\sqrt5}{5}.
\]
3в)
\[
\cos\frac\alpha2=-\frac{7\sqrt2}{10},\qquad
\sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt2}{10}.
\]
3г)
\[
\sin\frac\alpha2=\frac{4\sqrt{17}}{17},\qquad
\cos\frac\alpha2=-\frac{\sqrt{17}}{17}.
\]
Формулы половинного угла
\[ \sin\frac\alpha2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}, \qquad \cos\frac\alpha2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}. \]
Знак выбираем по четверти, в которой находится угол \(\frac\alpha2\).
2а)
\[ \cos\alpha=0{,}8=\frac45,\qquad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi. \]
Тогда:
\[ \frac{3\pi}{4}<\frac\alpha2<\pi. \]
Это II четверть: \(\sin\frac\alpha2>0\), \(\cos\frac\alpha2<0\).
\[ \sin\frac\alpha2= \sqrt{\frac{1-\frac45}{2}} =\sqrt{\frac{1}{10}} =\frac{\sqrt{10}}{10}. \]
\[ \cos\frac\alpha2= -\sqrt{\frac{1+\frac45}{2}} =-\sqrt{\frac9{10}} =-\frac{3\sqrt{10}}{10}. \]
\[ \tg\frac\alpha2= \frac{\sin\frac\alpha2}{\cos\frac\alpha2} =\frac{\frac{\sqrt{10}}{10}}{-\frac{3\sqrt{10}}{10}} =-\frac13. \]
\[ \ctg\frac\alpha2=-3. \]
2б)
\[ \sin\alpha=0{,}6=\frac35,\qquad 0^\circ<\alpha<90^\circ. \]
Сначала находим \(\cos\alpha\):
\[ \cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha} =\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2} =\sqrt{\frac{16}{25}} =\frac45. \]
Угол \(\frac\alpha2\) находится в I четверти, поэтому оба значения положительные.
\[ \sin\frac\alpha2= \sqrt{\frac{1-\frac45}{2}} =\sqrt{\frac1{10}} =\frac{\sqrt{10}}{10}. \]
\[ \cos\frac\alpha2= \sqrt{\frac{1+\frac45}{2}} =\sqrt{\frac9{10}} =\frac{3\sqrt{10}}{10}. \]
\[ \tg\frac\alpha2=\frac13, \qquad \ctg\frac\alpha2=3. \]
3а)
\[ \cos\alpha=0{,}6=\frac35,\qquad 180^\circ<\alpha<360^\circ. \]
Косинус положителен только в IV четверти, значит:
\[ 270^\circ<\alpha<360^\circ. \]
Тогда \(\frac\alpha2\) лежит во II четверти, поэтому тангенс отрицательный:
\[ \tg\frac\alpha2= -\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}} =-\sqrt{\frac{1-\frac35}{1+\frac35}} =-\sqrt{\frac{2/5}{8/5}} =-\sqrt{\frac14} =-\frac12. \]
3б)
\[ \sin\alpha=-\frac45,\qquad 270^\circ<\alpha<360^\circ. \]
Это IV четверть, значит:
\[ \cos\alpha=\frac35. \]
Половина угла находится во II четверти: синус положительный, косинус отрицательный.
\[ \sin\frac\alpha2= \sqrt{\frac{1-\frac35}{2}} =\sqrt{\frac15} =\frac{\sqrt5}{5}. \]
\[ \cos\frac\alpha2= -\sqrt{\frac{1+\frac35}{2}} =-\sqrt{\frac45} =-\frac{2\sqrt5}{5}. \]
3в)
\[ \cos\alpha=\frac{24}{25},\qquad 270^\circ<\alpha<360^\circ. \]
Половина угла лежит во II четверти, поэтому:
\[ \cos\frac\alpha2<0,\qquad \sin\frac\alpha2>0. \]
\[ \cos\frac\alpha2= -\sqrt{\frac{1+\frac{24}{25}}{2}} =-\sqrt{\frac{49}{50}} =-\frac{7\sqrt2}{10}. \]
\[ \sin\frac\alpha2= \sqrt{\frac{1-\frac{24}{25}}{2}} =\sqrt{\frac1{50}} =\frac{\sqrt2}{10}. \]
3г)
\[ \sin\alpha=-\frac8{17},\qquad 180^\circ<\alpha<270^\circ. \]
Это III четверть, поэтому \(\cos\alpha<0\):
\[ \cos\alpha= -\sqrt{1-\sin^2\alpha} =-\sqrt{1-\frac{64}{289}} =-\sqrt{\frac{225}{289}} =-\frac{15}{17}. \]
Угол \(\frac\alpha2\) находится во II четверти: синус положительный, косинус отрицательный.
\[ \sin\frac\alpha2= \sqrt{\frac{1-\left(-\frac{15}{17}\right)}{2}} =\sqrt{\frac{16}{17}} =\frac{4\sqrt{17}}{17}. \]
\[ \cos\frac\alpha2= -\sqrt{\frac{1-\frac{15}{17}}{2}} =-\sqrt{\frac1{17}} =-\frac{\sqrt{17}}{17}. \]
Проверка для пункта 3г:
\[ 2\sin\frac\alpha2\cos\frac\alpha2 =2\cdot\frac{4\sqrt{17}}{17}\cdot \left(-\frac{\sqrt{17}}{17}\right) =-\frac8{17}, \]
получили данное значение \(\sin\alpha\).
