Реши мне 69 и 70 номера
69. Плоскость пересекает грани \(SAB\) и \(SBC\) по прямым, параллельным ребру \(SB\), значит, эти прямые параллельны друг другу.
Пусть \(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(BC\), а \(\alpha\) — данная плоскость.
- Обозначим:
\[ l=\alpha\cap(SAB), \qquad k=\alpha\cap(SBC). \] Тогда \(M\in l\), а \(N\in k\). - Прямая \(l\) лежит в плоскости грани \(SAB\). Она не может пересекать \(SB\), иначе плоскость \(\alpha\) пересекла бы ребро \(SB\). Но \(\alpha\parallel SB\).
- Поэтому в плоскости \(SAB\): \[ l\parallel SB. \]
- Точно так же: \[ k\parallel SB. \]
Две прямые, параллельные одной и той же прямой, параллельны между собой:
\[ \boxed{l\parallel k}. \]
70. Плоскость, проходящая через середины рёбер \(AB\), \(AC\) и \(AD\), параллельна плоскости \(BCD\).
Пусть \(M,N,P\) — середины рёбер \(AB,AC,AD\) соответственно. Рассмотрим плоскость \(MNP\).
По свойству средней линии треугольника:
В треугольнике \(ABC\): \[ MN\parallel BC. \]
В треугольнике \(ABD\): \[ MP\parallel BD. \]
Прямые \(MN\) и \(MP\) пересекаются в точке \(M\). Прямые \(BC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(B\). При этом
\[ MN\parallel BC,\qquad MP\parallel BD. \]
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Значит,
\[ \boxed{(MNP)\parallel(BCD)}. \]
Проверка: точки \(M,N,P\) получаются из \(B,C,D\) гомотетией с центром \(A\) и коэффициентом \(\frac12\), поэтому плоскости \(MNP\) и \(BCD\) действительно параллельны.
Обсуждение
2 сообщенияРаспиши дано что найт решение или доказательство и чуть по подробней
№ 69
Дано:
Пирамида \(SABC\).
\(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(BC\).
Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(M\) и \(N\) и параллельна ребру \(SB\).
Обозначим: \[ a=\alpha\cap(SAB), \qquad b=\alpha\cap(SBC). \]
Доказать: \[ a\parallel b. \]
Доказательство:
Прямая \(a\) лежит одновременно в плоскости \(\alpha\) и в плоскости грани \(SAB\).
Ребро \(SB\) тоже лежит в плоскости \(SAB\).
Предположим, что \(a\) пересекает \(SB\). Тогда их точка пересечения принадлежала бы и плоскости \(\alpha\), и ребру \(SB\). Но по условию: \[ \alpha\parallel SB, \] то есть плоскость \(\alpha\) не пересекает прямую \(SB\).
Получили противоречие. Значит, \[ a\parallel SB. \]
Аналогично прямая \(b\) лежит в грани \(SBC\), как и ребро \(SB\). Поскольку плоскость \(\alpha\) параллельна \(SB\), то: \[ b\parallel SB. \]
Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, \[ \boxed{a\parallel b}. \]
№ 70
Дано:
Тетраэдр \(ABCD\).
Точки \(M\), \(N\), \(P\) — середины рёбер \(AB\), \(AC\), \(AD\) соответственно:
\[ AM=MB,\qquad AN=NC,\qquad AP=PD. \]
Доказать: \[ (MNP)\parallel(BCD). \]
Доказательство:
Рассмотрим треугольник \(ABC\).
Точки \(M\) и \(N\) — середины его сторон \(AB\) и \(AC\). Тогда \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC\).
По свойству средней линии: \[ MN\parallel BC. \]
Рассмотрим треугольник \(ABD\).
Точки \(M\) и \(P\) — середины сторон \(AB\) и \(AD\). Значит, \(MP\) — средняя линия треугольника \(ABD\).
Поэтому: \[ MP\parallel BD. \]
Прямые \(MN\) и \(MP\) пересекаются в точке \(M\) и лежат в плоскости \((MNP)\).
Прямые \(BC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(B\) и лежат в плоскости \((BCD)\).
Получается, что две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости:
\[ MN\parallel BC,\qquad MP\parallel BD. \]
Следовательно, плоскости параллельны:
\[ \boxed{(MNP)\parallel(BCD)}. \]
Что и требовалось доказать.
