Реши задание на изображении

Задача 1

Ответ:

• среднее время выполнения операции: \(\overline{x}=25{,}6\) мин;
• дисперсия времени: \(D=4{,}44\text{ мин}^2\);
• доля работников, выполняющих операцию быстрее 24 мин: \(20\%\);
• с вероятностью \(0{,}954\) среднее время по всему предприятию находится в пределах
  \[ 25{,}31\le \overline{x}_{\text{ген}}\le25{,}89\text{ мин}. \]

1. Находим среднее время

Для интервального ряда берём середины интервалов:

Время, мин	Середина \(x_i\)	Число работников \(f_i\)
20–22	21	10
22–24	23	30
24–26	25	80
26–28	27	50
28–30	29	30

Объём выборки:

\[ n=10+30+80+50+30=200. \]

Среднее:

\[ \overline{x}=\frac{\sum x_i f_i}{n} =\frac{21\cdot10+23\cdot30+25\cdot80+27\cdot50+29\cdot30}{200}. \]

\[ \overline{x}=\frac{5120}{200}=25{,}6\text{ мин}. \]

2. Дисперсия

\[ D=\frac{\sum f_i(x_i-\overline{x})^2}{n}. \]

\[ D=\frac{888}{200}=4{,}44\text{ мин}^2. \]

3. Доля выполняющих операцию быстрее 24 минут

Быстрее 24 минут работают сотрудники из первых двух групп:

\[ 10+30=40\text{ человек}. \]

\[ w=\frac{40}{200}=0{,}2=20\%. \]

4. Доверительные границы для среднего

Выборка составляет \(5\%\), значит поправка на бесповторный отбор:

\[ 1-\frac{n}{N}=1-0{,}05=0{,}95. \]

Для вероятности \(0{,}954\) берём коэффициент \(t=2\).

\[ \Delta=2\sqrt{\frac{D}{n}\cdot0{,}95} =2\sqrt{\frac{4{,}44}{200}\cdot0{,}95} \approx0{,}29\text{ мин}. \]

\[ 25{,}6-0{,}29\le \overline{x}_{\text{ген}}\le25{,}6+0{,}29. \]

\[ \boxed{25{,}31\le \overline{x}_{\text{ген}}\le25{,}89\text{ мин}}. \]

---

Задача 2

Ответ:

\[ \boxed{59{,}2\%\le p\le77{,}1\%} \]

— с вероятностью \(0{,}997\) доля продукции I сорта в генеральной совокупности находится в этих пределах.

Всего обследовано:

\[ n=150+50+20=220\text{ единиц}. \]

Выборочная доля продукции I сорта:

\[ w=\frac{150}{220}=0{,}6818\approx68{,}18\%. \]

При вероятности \(0{,}997\) коэффициент доверия \(t=3\). Выборка составляет \(10\%\), поэтому:

\[ \Delta_w=3\sqrt{\frac{w(1-w)}{n}\cdot(1-0{,}1)}. \]

\[ \Delta_w=3\sqrt{\frac{0{,}6818\cdot0{,}3182}{220}\cdot0{,}9} \approx0{,}0894. \]

Тогда:

\[ 0{,}6818-0{,}0894\le p\le0{,}6818+0{,}0894, \]

\[ 0{,}5924\le p\le0{,}7712. \]

В процентах:

\[ \boxed{59{,}2\%\le p\le77{,}1\%}. \]

Условие задачи 3 на фото обрезано.