Реши задание на изображении
Ответ:
а) \(\displaystyle \frac{x+5}{x(5-x)}\), \(x\ne -5,0,5\);
б) \(\displaystyle \frac{x+3}{x^2-3x+9}\), \(x\ne -3\);
в) \(\displaystyle \frac{x+1}{x-6}\), \(x\ne 0,6\).
а)
\[ \frac5{x^2+5x}+\frac{x+15}{25-x^2} \]
Разложим знаменатели на множители:
\[ x^2+5x=x(x+5), \] \[ 25-x^2=(5-x)(5+x)=(5-x)(x+5). \]
Общий знаменатель:
\[ x(x+5)(5-x). \]
Приводим к нему:
\[ \frac{5(5-x)}{x(x+5)(5-x)} + \frac{x(x+15)}{x(x+5)(5-x)}. \]
Складываем числители:
\[ 5(5-x)+x(x+15)=25-5x+x^2+15x=x^2+10x+25. \]
\[ x^2+10x+25=(x+5)^2. \]
\[ \frac{(x+5)^2}{x(x+5)(5-x)} = \frac{x+5}{x(5-x)}. \]
б)
\[ \frac1{x+3}+\frac{9x}{x^3+27} \]
Используем формулу суммы кубов:
\[ x^3+27=x^3+3^3=(x+3)(x^2-3x+9). \]
Общий знаменатель уже виден:
\[ (x+3)(x^2-3x+9). \]
\[ \frac{x^2-3x+9}{(x+3)(x^2-3x+9)} + \frac{9x}{(x+3)(x^2-3x+9)}. \]
Складываем числители:
\[ x^2-3x+9+9x=x^2+6x+9=(x+3)^2. \]
\[ \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x^2-3x+9)} = \frac{x+3}{x^2-3x+9}. \]
в)
\[ \frac2x+\frac{12}{x^2-6x}-\frac{1-x}{x-6} \]
Разложим второй знаменатель:
\[ x^2-6x=x(x-6). \]
Также удобно изменить знак в последней дроби:
\[ -\frac{1-x}{x-6}=\frac{x-1}{x-6}. \]
Тогда получаем:
\[ \frac2x+\frac{12}{x(x-6)}+\frac{x-1}{x-6}. \]
Общий знаменатель — \(x(x-6)\):
\[ \frac{2(x-6)}{x(x-6)} + \frac{12}{x(x-6)} + \frac{x(x-1)}{x(x-6)}. \]
Складываем числители:
\[ 2x-12+12+x^2-x=x^2+x=x(x+1). \]
\[ \frac{x(x+1)}{x(x-6)} = \frac{x+1}{x-6}. \]
Важно: \(x=0\) нельзя подставлять в исходное выражение, хотя \(x\) сократился.
