Реши задание на изображении
1. Вычислить
1)
\[
\frac{15^{2/3}\cdot 3^{7/3}}{5^{1/3}}
=\frac{(3\cdot5)^{2/3}\cdot3^{7/3}}{5^{1/3}}
=3^3\cdot5^{1/3}
=\boxed{27\sqrt[3]{5}}.
\]
2)
\[
\left(\frac45\right)^{-2}-\left(\frac1{27}\right)^{1/3}+4\cdot379^0
=\frac{25}{16}-\frac13+4
=\boxed{\frac{251}{48}}.
\]
Здесь \(379^0=1\), а отрицательная степень означает, что дробь нужно перевернуть.
3)
\[
\frac{\sqrt[3]{128}+\sqrt[3]{1/4}}{\sqrt[3]2}
=\frac{4\sqrt[3]2}{\sqrt[3]2}+\sqrt[3]{\frac{1/4}{2}}
=4+\sqrt[3]{\frac18}
=\boxed{\frac92}.
\]
2. Упростить выражение
1)
\[
\sqrt[3]{\frac{ab^2}{c}}\cdot\sqrt[3]{\frac{a^5b}{c^2}}
=\sqrt[3]{\frac{a^6b^3}{c^3}}
=\boxed{\frac{a^2b}{c}}.
\]
2)
\[
\frac{a^{-3}\cdot a^{7/3}}{a^{1/3}}
=a^{-3+7/3-1/3}
=a^{-1}
=\boxed{\frac1a}.
\]
3. Сократить дробь
Положим \(x=\sqrt[4]a\). Тогда \(a=x^4\), \(\sqrt a=x^2\):
\[ \frac{a-9\sqrt a}{7\sqrt[4]a+21} =\frac{x^4-9x^2}{7x+21} =\frac{x^2(x-3)(x+3)}{7(x+3)} =\boxed{\frac{\sqrt a\,(\sqrt[4]a-3)}7}. \]
4. Сравнить числа
Поскольку функция извлечения пятого корня возрастает, достаточно сравнить числа под корнями. Так как \[ \frac29<\frac14, \] то и \[ \boxed{\sqrt[5]{\left(\frac29\right)^3} < \sqrt[5]{\left(\frac14\right)^3}}. \]
5. Упростить выражение
Используем тождество \((x+y)^2-(x-y)^2=4xy\), где \(x=\sqrt[3]a\), \(y=\sqrt[3]b\):
\[ (\sqrt[3]a+\sqrt[3]b)^2-(\sqrt[3]a-\sqrt[3]b)^2 =4\sqrt[3]a\sqrt[3]b =\boxed{4\sqrt[3]{ab}}. \]
