Реши задание на изображении
Краткие ответы:
- \(\frac34\); 2) \(4\) см; 3) \(16\sqrt2\) см²; 4) \(9\) см; 5) \(24\) см².
1. Тангенс угла \(B\)
По клеткам: \(AC=6\), \(CB=8\). Для угла \(B\) катет \(AC\) — противолежащий, а \(CB\) — прилежащий: \[ \tan B=\frac{AC}{CB}=\frac68=\frac34. \]
2. Катет \(AC\)
Так как \(\angle C=90^\circ\), \(AB\) — гипотенуза. По определению косинуса: \[ \cos A=\frac{AC}{AB},\qquad AC=AB\cos A=6\cdot\frac23=4\text{ см}. \] Проверка: \(\frac{AC}{AB}=\frac46=\frac23\).
3. Площадь равнобедренного треугольника
Основание — \(AC\), значит, боковые стороны равны: \(AB=BC\). Из условия \(AB+BC=16\) получаем \(AB=BC=8\) см. Углы при основании равны, поэтому \[ \angle A=\angle C=\frac{135^\circ}{2}=67{,}5^\circ, \qquad \angle B=45^\circ. \] Используем формулу площади через две стороны и угол между ними: \[ S=\frac12 AB\cdot BC\cdot\sin B =\frac12\cdot8\cdot8\cdot\sin45^\circ =16\sqrt2\text{ см}^2. \]
4. Гипотенуза \(AB\)
По теореме о катете и его проекции на гипотенузу: \[ AC^2=AB\cdot AH. \] Тогда \[ AB=\frac{AC^2}{AH}=\frac{6^2}{4}=9\text{ см}. \] Проверка: \(9\cdot4=36=6^2\).
5. Площадь трапеции \(HBCD\)
Из периметра и отношения сторон: \[ 2(AB+AD)=30,\qquad AB:AD=1:2, \] значит, \(AB=5\) см, \(AD=10\) см.
Так как \(\sin A=\frac35\) и угол \(A\) острый, \(\cos A=\frac45\). Тогда \[ BH=AB\sin A=5\cdot\frac35=3\text{ см}, \qquad AH=AB\cos A=5\cdot\frac45=4\text{ см}. \] Следовательно, \(HD=AD-AH=10-4=6\) см. В трапеции \(HBCD\) параллельны стороны \(HD\) и \(BC\), причём \(BC=AD=10\) см. Поэтому \[ S_{HBCD}=\frac{HD+BC}{2}\cdot BH =\frac{6+10}{2}\cdot3 =24\text{ см}^2. \]
